Let f be a positive multiplicative function and let $k\ge 2$ be an integer. We prove that if the prime values $f(p)$ converge to 1 sufficiently slowly as $p\to +\infty$, in the sense that ${\sum }_p|f(p)-1|=\infty$, there exists a real number $c>0$ such that the k-tuples $(f(p+1),\dots ,f(p+k))$ are dense in the hypercube ${[0,c]}^k$ or in ${[c,+\infty )}^k$. In particular, the values $f(p+1),\dots ,f(p+k)$ can be put in any increasing order infinitely often. Our work generalises previous results of De Koninck and Luca.

中文翻译：

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移位素数上的乘法函数

令f为正乘法函数，令$ķ\ge 2$是一个整数。我们证明如果质数$F(p)$足够缓慢地收敛到 1，因为$p\to +\infty$， 在某种意义上说${\sum }_p|F(p)-1|=\infty$, 存在一个实数$C>0$使得k元组$(F(p+1),\dots ,F(p+ķ))$ 在超立方体中是稠密的 ${[0,C]}^{ķ}$ 或在 ${[C,+\infty )}^{ķ}$. 特别是，价值观$F(p+1),\dots ,F(p+ķ)$可以无限频繁地以任何递增的顺序排列。我们的工作概括了 De Koninck 和 Luca 以前的结果。