Previous studies mainly focused on second- and third-order gravitational potential gradients that these values are already measurable or that appropriate measurement principles are being developed. Although the higher-order (i.e. the order is larger than or equal to four) gravitational potential gradients cannot be observed now, with the development of science and technology, it will be hoped to measure these parameters in the future. Once the values of higher-order gradients are observable, they can express the higher frequency of the Earth’s gravity field and have the higher sensitivity to the shallower structures of the Earth’s subsurface, which will be applied for the global and regional gravity field modelling and geoid determination in geodesy and the mass density mapping of the subsurface and shallower structures in geophysics. In this paper, the higher-order gravitational potential gradients in spherical coordinates are focused on by tensor analysis. Firstly, the rule of the covariant derivative of a tensor is revised based on Casotto and Fantino (2009). Secondly, the general expressions for the natural components of the fourth-order up to seventh-order gravitational potential gradients are derived based on the revised rule. Specifically, we derive the expressions for physical components of the fourth-order gravitational potential derivatives as an example. Thirdly, Laplace’s equation with a uniform tesseroid using the spherical integral kernels has been applied to validate these newly derived expressions’ correctness. The expressions for the physical components of higher-order gradients up to m order can theoretically be derived based on this paper’s research results.

以前的研究主要集中在二阶和三阶重力势梯度，这些值已经可以测量，或者正在开发适当的测量原理。虽然现在还不能观测到更高阶（即大于等于四阶）的引力势梯度，但随着科学技术的发展，未来有望对这些参数进行测量。一旦高阶梯度的值是可观测的，它们就可以表达地球重力场的更高频率，对地球地下较浅的结构具有更高的敏感性，这将应用于全球和区域重力场建模和大地水准面大地测量学中的测定以及地球物理学中地下和较浅结构的质量密度映射。本文通过张量分析，重点研究球坐标系中的高阶引力势梯度。首先，在 Casotto and Fantino (2009) 的基础上修改了张量的协变导数规则。其次，根据修改后的规则推导出四阶到七阶引力势梯度的自然分量的一般表达式。具体来说，我们以四阶引力势导数的物理分量的表达式为例。第三，拉普拉斯方程和一个使用球积分核的均匀 tessroid 已被应用来验证这些新导出的表达式的正确性。高阶梯度的物理分量表达式为 通过张量分析关注球坐标中的高阶引力势梯度。首先，在Casotto and Fantino (2009)的基础上修改了张量的协变导数规则。其次，根据修改后的规则推导出四阶到七阶引力势梯度的自然分量的一般表达式。具体来说，我们以四阶引力势导数的物理分量的表达式为例。第三，拉普拉斯方程和一个使用球积分核的均匀 tessroid 已被应用来验证这些新导出的表达式的正确性。高阶梯度的物理分量表达式为 通过张量分析关注球坐标中的高阶引力势梯度。首先，在 Casotto and Fantino (2009) 的基础上修改了张量的协变导数规则。其次，根据修改后的规则推导出四阶到七阶引力势梯度的自然分量的一般表达式。具体来说，我们以四阶引力势导数的物理分量的表达式为例。第三，拉普拉斯方程和一个使用球积分核的均匀 tessroid 已被应用来验证这些新导出的表达式的正确性。高阶梯度的物理分量表达式为 张量的协变导数规则是根据 Casotto 和 Fantino (2009) 修订的。其次，根据修改后的规则推导出四阶到七阶引力势梯度的自然分量的一般表达式。具体来说，我们以四阶引力势导数的物理分量的表达式为例。第三，拉普拉斯方程和一个使用球积分核的均匀 tessroid 已被应用来验证这些新导出的表达式的正确性。高阶梯度的物理分量表达式为 张量的协变导数规则是根据 Casotto 和 Fantino (2009) 修订的。其次，根据修改后的规则推导出四阶到七阶引力势梯度的自然分量的一般表达式。具体来说，我们以四阶引力势导数的物理分量的表达式为例。第三，拉普拉斯方程和一个使用球积分核的均匀 tessroid 已被应用来验证这些新导出的表达式的正确性。高阶梯度的物理分量表达式为 四阶到七阶引力势梯度的自然分量的一般表达式是根据修改后的规则推导出来的。具体来说，我们以四阶引力势导数的物理分量的表达式为例。第三，拉普拉斯方程和一个使用球积分核的均匀 tessroid 已被应用来验证这些新导出的表达式的正确性。高阶梯度的物理分量表达式为 四阶到七阶引力势梯度的自然分量的一般表达式是根据修改后的规则推导出来的。具体来说，我们以四阶引力势导数的物理分量的表达式为例。第三，拉普拉斯方程和一个使用球积分核的均匀 tessroid 已被应用来验证这些新导出的表达式的正确性。高阶梯度的物理分量表达式为基于本文的研究结果，可以从理论上推导出m阶。