In this paper, we prove a congruence which contains a congruence conjectured by Adamchuk (OEIS A066796 in 2006, http://oeis.org/A066796). For any prime $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ and $a\in {\mathbb{Z}}^{+}$, we have$\sum _{k=1}^{\frac{2}{3}(p^a-1)}\left(\begin{array}{c}2k\\ k\end{array}\right)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}^2).$

中文翻译：

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亚当楚克猜想的证明

在本文中，我们证明了一个全等式，其中包含一个由Adamchuk猜想的全等式（OEIS A066796在2006年，http：//oeis.org/A066796）。对于任何素数$p\equiv \mathrm{1个}（\mathrm{国防部}3）$ 和 $\mathrm{一种}\in {\mathbb{ž}}^{+}$， 我们有$\sum _{ķ=\mathrm{1个}}^{\frac{\mathrm{2个}}{3}（p^{\mathrm{一种}}-\mathrm{1个}）}（\begin{array}{c}\mathrm{2个}ķ\\ ķ\end{array}）\equiv 0（\mathrm{国防部}{p}^{\mathrm{2个}}）。$