In this paper we investigate the \(\infty \)-capacity and the Faber–Krahn inequality on the Grushin space \({\mathbb {G}}^n_\alpha \). On the one hand we show that the \(\infty \)-capacity equals the limit of the p-th root of the p-capacity as \(p\rightarrow \infty \) and give a simple geometric characterization in terms of the Carnot–Carathéodory distance, on the other hand we establish some basic properties for the \(\infty \)-capacity, \(\infty \)-eigenvalue and the Faber–Krahn inequality on the Grushin space \({\mathbb {G}}^n_\alpha \).

中文翻译：

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Grushin空间上的$$ \ infty $$∞-容量和Faber-Krahn不等式

在本文中，我们研究了Grushin空间\（{\ mathbb {G}} ^ n_ \ alpha \）上的\（\ infty \）-容量和Faber-Krahn不等式。一方面，我们表明，\（\ infty \） -容量等于极限p的第的根p -容量为\（P \ RIGHTARROW \ infty \） ，并给出一个简单的几何特征中的条款卡诺-右端是Carathéodory距离，在另一方面，我们建立一些基本性质为\（\ infty \） -容量，\（\ infty \） -eigenvalue并在格鲁申空间费伯-克拉恩不等式\（{\ mathbb {绿}} ^ n_ \ alpha \）。