Acta Mathematica Scientia ( IF 1.2 ) Pub Date : 2021-04-19 , DOI: 10.1007/s10473-021-0306-y Yueying Yang , Weimao Qian , Hongwei Zhang , Yuming Chu
In the article, we prove that the double inequalities
$$\begin{array}{*{20}{c}} {{G^p}\left[ {{\lambda _1}a + \left( {1 - {\lambda _1}} \right)b,{\lambda _1}b + \left( {1 - {\lambda _1}} \right)a} \right]{A^{1 - p}}\left( {a,b} \right) < T\left[ {A\left( {a,b} \right),G\left( {a,b} \right)} \right]} \\ { < {G^p}\left[ {\mu _1^{}a + \left( {1 - {\mu _1}} \right)a} \right]{A^{1 - p}}\left( {a,b} \right),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \\ {{C^s}\left[ {{\lambda _2}a + \left( {1 - {\lambda _2}} \right)b,{\lambda _2}b + \left( {1 - {\lambda _2}} \right)a} \right]{A^{1 - s}}\left( {a,b} \right) < T\left[ {A\left( {a,b} \right),Q\left( {a,b} \right)} \right]} \\ { < {C^s}\left[ {{\mu _2}a + \left( {1 - {\mu _2}} \right)b,{\mu _2}b + {{\left( {1 - {\mu _2}} \right)}_a}} \right]{A^{1 - p}}\left( {a,b} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} \end{array}$$hold for all a, b > 0 with a ≠ b if and only if \({\lambda _1} \le 1/2 - \sqrt {1 - {{\left({2/\pi} \right)}^{2/p}}} /2\), \({\mu _1} \ge 1/2 - \sqrt {2p} /\left({4p} \right),{\lambda _2} \le 1/2 + \sqrt {{2^{3/\left({2s} \right)}}{{\left({\varepsilon \left({\sqrt 2 /2} \right)/\pi} \right)}^{1/s}} - 1} /2\) and \({\mu _2} \ge 1/2 + \sqrt s /\left({4s} \right)\) if λ1, μ1 ∈ (0, 1/2), λ2, μ2 ∈ (1/2, 1), p ≥ 1 and s ≥ 1/2, where \(G\left({a,b} \right) = \sqrt {ab} \), A(a, b) = (a + b)/2, \(T\left({a,b} \right) = 2\int_0^{\pi /2} {\sqrt {{a^2}{{\cos}^2}t + {b^2}{{\sin}^2}t} dt/\pi} \), \(Q\left({a,b} \right) = \sqrt {\left({{a^2} + {b^2}} \right)/2} \), C(a, b) = (a2 + b2)/(a + b) and \(\varepsilon (r) = \int_0^{\pi /2} {\sqrt {1 - {r^2}{{\sin}^2}t}} {\rm{d}}t\).
中文翻译：
用两参数均值表示Toader型均值的尖锐界线
在本文中，我们证明了双重不等式
$$ \ begin {array} {* {20} {c}} {{G ^ p} \ left [{{\ lambda _1} a + \ left（{1-{\ lambda _1}} \ right）b， {\ lambda _1} b + \ left（{1-{\ lambda _1}} \ right）a} \ right] {A ^ {1-p}} \ left（{a，b} \ right）<T \左[{A \ left（{a，b} \ right），G \ left（{a，b} \ right）} \ right]} \\ {<{G ^ p} \ left [{\ mu _1 ^ {} a + \ left（{1-{\ mu _1}} \ right）a} \ right] {A ^ {1-p}} \ left（{a，b} \ right），\; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;}} \\ {{ C ^ s} \ left [{{\ lambda _2} a + \ left（{1-{\ lambda _2}} \ right）b，{\ lambda _2} b + \ left（{1-{\ lambda _2} } \ right）a} \ right] {A ^ {1-s}} \ left（{a，b} \ right）<T \ left [{A \ left（{a，b} \ right），Q \ left（{a，b} \ right）} \ right]} \\ {<{C ^ s} \ left [{{\ mu _2} a + \ left（{1-{\ mu _2}} \ right） b，{\ mu _2} b + {{\ left（{1-{\ mu _2}} \ right）} _ a}} \ right] {A ^ {1-p}} \ left（{a，b} \正确的）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;} \ end {array} $$对于且仅当\（{\ lambda _1} \ le 1/2-\ sqrt {1-{{\ left（{2 / \ pi} \ right）} ^时，所有a，b > 0且b ≠ b成立{2 / p}}} / 2 \），\（{\ mu _1} \ ge 1 /2-\ sqrt {2p} / \ left（{4p} \ right），{\ lambda _2} \ le 1 / 2 + \ sqrt {{2 ^ {3 / \ left（{2s} \ right）}} {{\ left（{\ varepsilon \ left（{\ sqrt 2/2} \ right）/ \ pi} \ right） } ^ {1 / S}} - 1} / 2 \）和\（{\亩_2} \ GE 1/2 + \ SQRT S / \左（{4S} \右）\）如果λ 1，μ 1 ∈（0，1/2），λ 2，μ 2 ∈（1/2，1），p≥ 1和s ^≥ 1/2，其中\（G \左（{A，b} \右）= \ sqrt {ab} \），A（a，b）=（a + b）/ 2，\（T \ left（{a，b} \ right）= 2 \ int_0 ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {{a ^ 2} { {\ cos} ^ 2} t + {b ^ 2} {{\ sin} ^ 2} t} dt / \ pi} \），\（Q \ left（{a，b} \ right）= \ sqrt { \ left（{{a ^ 2} + {b ^ 2}} \ right）/ 2} \），C（a，b）=（a 2 + b 2）/（a + b）和\（\ varepsilon （r）= \ int_0 ^ {\ pi / 2} {\ sqrt {1-{r ^ 2} {{\ sin} ^ 2} t}} {\ rm {d}} t \）。
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