Abstract Leibniz published his Euclidean construction of a catenary in Acta Eruditorum of June 1691, but he was silent about the methods used to discover it. He explained how he used his differential calculus only in a private letter to Rudolph Christian von Bodenhausen and specified a number that was key to his construction, 2.7182818, with no clue about how he calculated it. Apparently, the calculations were never divulged to anyone but were discovered later among his personal papers. They may be the earliest record of an accurate approximation of the number we label e and a demonstration of its role as the base of the natural logarithm and exponential function. This, at that time, was a remarkably precise estimate for e, accomplished more than 22 years before Roger Cotes published e to 12 significant digits, and some 57 years before Euler's treatment of the logarithm in his Introductio in Analysin Infinitorum. The Leibniz construction reveals a hyperbolic cosine built on an exponential curve based on his estimated value, which implies that he understood the number as the base of his logarithmic curve. The sheets of arithmetic used by Leibniz preserved at the Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) in Hannover, confirm this. Those sheets show how Leibniz calculated e and applied it to his catenary construction. The data actually yield e to 12 significant figures: 2.71828182845, missed by Leibniz because of a misplaced decimal point. We summarize the construction and examine the worksheets. The unpublished methods seem entirely modern to us and could serve as enrichening examples in modern calculus texts.

中文翻译：

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莱布尼茨悬链线和 e 的近似——对他未发表的计算的分析

摘要 莱布尼茨于 1691 年 6 月在 Acta Eruditorum 中发表了他对悬链线的欧几里得构造，但他对发现它所用的方法保持沉默。他仅在给鲁道夫·克里斯蒂安·冯·博登豪森 (Rudolph Christian von Bodenhausen) 的私人信件中解释了他如何使用微积分，并指定了一个对他的构造很关键的数字 2.7182818，但不知道他是如何计算的。显然，这些计算从未向任何人透露过，而是后来在他的个人文件中发现的。它们可能是我们标记为 e 的数字的准确近似的最早记录，并证明了其作为自然对数和指数函数的基础的作用。在当时，这是对 e 的非常精确的估计，在 Roger Cotes 发表 e 到 12 位有效数字之前的 22 年多之前就已经完成，比欧拉早了大约 57 年。在他的 Introductio in Analysin Infinitorum 中对对数的处理。莱布尼茨的构造揭示了一个建立在基于他的估计值的指数曲线上的双曲余弦，这意味着他将这个数字理解为他的对数曲线的底数。保存在汉诺威 Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) 的莱布尼茨使用的算术表证实了这一点。这些表格显示了莱布尼茨如何计算 e 并将其应用于他的悬链线构造。数据实际上产生了 12 个有效数字的 e：2.71828182845，莱布尼茨因为小数点位置错误而错过了。我们总结了构造并检查了工作表。未发表的方法对我们来说似乎完全是现代的，可以作为现代微积分课本中丰富的例子。莱布尼茨的构造揭示了基于他的估计值建立在指数曲线上的双曲余弦，这意味着他将数字理解为他的对数曲线的底数。保存在汉诺威 Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) 的莱布尼茨使用的算术表证实了这一点。这些表格显示了莱布尼茨如何计算 e 并将其应用于他的悬链线构造。数据实际上产生了 12 个有效数字的 e：2.71828182845，莱布尼茨因为小数点位置错误而错过了。我们总结了构造并检查了工作表。未发表的方法对我们来说似乎完全是现代的，可以作为现代微积分课本中丰富的例子。莱布尼茨的构造揭示了一个建立在基于他的估计值的指数曲线上的双曲余弦，这意味着他将这个数字理解为他的对数曲线的底数。保存在汉诺威 Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) 的莱布尼茨使用的算术表证实了这一点。这些表格显示了莱布尼茨如何计算 e 并将其应用于他的悬链线构造。数据实际上产生了 12 个有效数字的 e：2.71828182845，莱布尼茨因为小数点位置错误而错过了。我们总结了构造并检查了工作表。未发表的方法对我们来说似乎完全是现代的，可以作为现代微积分课本中丰富的例子。这意味着他将数字理解为他的对数曲线的底数。保存在汉诺威 Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) 的莱布尼茨使用的算术表证实了这一点。这些表格显示了莱布尼茨如何计算 e 并将其应用于他的悬链线构造。数据实际上产生了 12 个有效数字的 e：2.71828182845，莱布尼茨因为小数点位置错误而错过了。我们总结了构造并检查了工作表。未发表的方法对我们来说似乎完全是现代的，可以作为现代微积分课本中丰富的例子。这意味着他将数字理解为他的对数曲线的底数。保存在汉诺威 Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) 的莱布尼茨使用的算术表证实了这一点。这些表格显示了莱布尼茨如何计算 e 并将其应用于他的悬链线构造。数据实际上产生了 12 个有效数字的 e：2.71828182845，莱布尼茨因为小数点位置错误而错过了。我们总结了构造并检查了工作表。未发表的方法对我们来说似乎完全是现代的，可以作为现代微积分课本中丰富的例子。数据实际上产生了 12 个有效数字的 e：2.71828182845，莱布尼茨因为小数点位置错误而错过了。我们总结了构造并检查了工作表。未发表的方法对我们来说似乎完全是现代的，可以作为现代微积分课本中丰富的例子。数据实际上产生了 12 个有效数字的 e：2.71828182845，莱布尼茨因为小数点位置错误而错过了。我们总结了构造并检查了工作表。未发表的方法对我们来说似乎完全是现代的，可以作为现代微积分课本中丰富的例子。