The Leibniz catenary and approximation of e — an analysis of his unpublished calculations

Abstract

Leibniz published his Euclidean construction of a catenary in Acta Eruditorum of June 1691, but he was silent about the methods used to discover it. He explained how he used his differential calculus only in a private letter to Rudolph Christian von Bodenhausen and specified a number that was key to his construction, 2.7182818, with no clue about how he calculated it. Apparently, the calculations were never divulged to anyone but were discovered later among his personal papers. They may be the earliest record of an accurate approximation of the number we label e and a demonstration of its role as the base of the natural logarithm and exponential function.

This, at that time, was a remarkably precise estimate for e, accomplished more than 22 years before Roger Cotes published e to 12 significant digits, and some 57 years before Euler's treatment of the logarithm in his Introductio in Analysin Infinitorum. The Leibniz construction reveals a hyperbolic cosine built on an exponential curve based on his estimated value, which implies that he understood the number as the base of his logarithmic curve. The sheets of arithmetic used by Leibniz preserved at the Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) in Hannover, confirm this.

Those sheets show how Leibniz calculated e and applied it to his catenary construction. The data actually yield e to 12 significant figures: 2.71828182845, missed by Leibniz because of a misplaced decimal point. We summarize the construction and examine the worksheets. The unpublished methods seem entirely modern to us and could serve as enrichening examples in modern calculus texts.

Zusammenfassung

Leibniz veröffentlichte seine euklidische Konstruktion einer Kettenlinie in den Acta Eruditorum vom Juni 1691, aber er schwieg über die Methoden, mit denen er sie entdeckte. Er erklärte, wie er seine Differentialrechnung dabei verwendete, nur in einem privaten Brief an Rudolph Christian von Bodenhausen und gab eine Zahl an, die für seine Konstruktion entscheidend war, 2.7182818, ohne Hinweis darauf, wie er sie berechnet hatte. Anscheinend wurden die Berechnungen nie an irgendjemanden weitergegeben, sondern später in seinen persönlichen Unterlagen entdeckt. Sie können die früheste Aufzeichnung einer genauen Annäherung der Zahl e und einer Demonstration ihrer Rolle als Grundlage des natürlichen Logarithmus und der Exponentialfunktion sein. Dies war seinerzeit eine bemerkenswert genaue Schätzung für die Zahl, die wir als e bezeichnen, die mehr als 22 Jahre vor Roger Cotes' Veröffentlichung von e mit 12 korrekten Ziffern und etwa 57 Jahre vor Eulers Behandlung des Logarithmus in seiner Introductio in Analysin Infinitorum durchgeführt wurde. Die Leibniz-Konstruktion zeigt einen Kosinus hyperbolicus, der auf der Grundlage seines Schätzwerts auf einer Exponentialkurve aufgebaut ist, was impliziert, dass er die Zahl als Grundlage seiner logarithmischen Kurve verstand. Die von Leibniz verwendeten Rechenblätter, die in der Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek (GWLB) in Hannover aufbewahrt werden, bestätigen dies. Diese Blätter zeigen, wie Leibniz e berechnet und auf seine Konstruktion der Kettenlinie angewendet hat. Die Daten ergeben tatsächlich 12 korrekte Ziffern, 2.71828182845, was Leibniz wegen eines falsch platzierten Dezimalpunkts verfehlte. Wir fassen die Konstruktion zusammen und untersuchen die Arbeitsblätter. Die unveröffentlichten Methoden erscheinen uns völlig modern und könnten als bereichernde Beispiele in modernen Analysistexten dienen.