We say that a map $T: S_X\rightarrow S_Y$ between the unit spheres of two real normed-spaces $X$ and $Y$ is a phase-isometry if it satisfies \begin{eqnarray*} \{\|T(x)+T(y)\|, \|T(x)-T(y)\|\}=\{\|x+y\|, \|x-y\|\} \end{eqnarray*} for all $x,y\in S_X$. In the present paper, we show that there is a phase function $\varepsilon:S_X\rightarrow \{-1,1\}$ such that $\varepsilon \cdot T$ is an isometry which can be extended a linear isometry on the whole space $X$ whenever $T$ is surjective, $X=C(K)$ ($K$ is a compact Hausdorff space) and $Y$ is an arbitrary Banach space. Additionally, if $T$ is a phase-isometry between the unit spheres of $C(K)$ and $C(\Omega)$, where $K$ and $\Omega$ are compact Hausdorff spaces, we prove that there is a homeomorphism $\varphi: \Omega\rightarrow K$ such that $T(f)\in\{f\circ \varphi,-f\circ \varphi\}$ for all $f\in S_{C(K)}$. This also can be seen as a Banach-Stone type representation for phase-isometries in $C(K)$ spaces.

中文翻译：

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C(K) 单位球面上的相等距

我们说两个实范数空间 $X$ 和 $Y$ 的单位球面之间的映射 $T: S_X\rightarrow S_Y$ 是相位等距，如果它满足 \begin{eqnarray*} \{\|T( x)+T(y)\|, \|T(x)-T(y)\|\}=\{\|x+y\|, \|xy\|\} \end{eqnarray*}所有 $x,y\in S_X$。在本文中，我们表明存在一个相位函数 $\varepsilon:S_X\rightarrow \{-1,1\}$ 使得 $\varepsilon \cdot T$ 是一个等距，它可以在当 $T$ 是满射时，整个空间 $X$，$X=C(K)$（$K$ 是一个紧致的 Hausdorff 空间），$Y$ 是一个任意的 Banach 空间。此外，如果 $T$ 是 $C(K)$ 和 $C(\Omega)$ 单位球面之间的相位等距，其中 $K$ 和 $\Omega$ 是紧致的 Hausdorff 空间，我们证明有同胚 $\varphi: \Omega\rightarrow K$ 使得 $T(f)\in\{f\circ \varphi, -f\circ \varphi\}$ 用于所有 $f\in S_{C(K)}$。这也可以看作是 $C(K)$ 空间中相位等距的 Banach-Stone 类型表示。