Based on the Hamilton’s principle, a nonlinear mathematical model of the cantilever-type piezoelectric energy harvester with a tip mass is systematically derived under parametric and external excitations. The proposed model accounts for geometric and electro-mechanical coupling nonlinearities, damping nonlinearity and the inextensibility condition of beam. Using the Galerkin approach, the proposed model is converted into the electro-mechanical coupling Mathieu–Duffing equations. Analytical solutions of the frequency–response curves are presented by the multiple scales method. Nonlinear characteristics of the energy harvesters are explored under parametric excitation and hybrid parametric and external excitations. Analytical results provided new insights into the effects of tip mass and nonlinear damping on the performance of the energy harvester. The results show that with the tip mass increasing, the frequency–response curves of the energy harvester change from the nonlinear hardening type to the nonlinear softening type and the operating bandwidth and the output voltages of the energy harvester enlarge. For parametrical excitation, variation of the quadratic damping does not alter the initial threshold of the harvesters and the position of two transcritical bifurcation points of the frequency–response curves. The initiation threshold decreases with the tip mass increasing. Hybrid parametric and external excitations enhance the bandwidth and output voltage of the energy harvester, which will probably be used as an ideal way to improve the performance of the energy harvesting system.

中文翻译：

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参数和外部激励下具有尖端质量以及几何形状和阻尼非线性的压电能量采集器的性能分析

根据汉密尔顿原理，在参数和外部激励下系统地推导了具有尖端质量的悬臂式压电能量采集器的非线性数学模型。所提出的模型考虑了几何和机电耦合非线性，阻尼非线性以及梁的不可扩展条件。使用Galerkin方法，将提出的模型转换为机电耦合Mathieu-Duffing方程。频率响应曲线的解析解通过多尺度方法给出。在参数激励以及混合参数和外部激励下探索了能量收集器的非线性特性。分析结果为尖端质量和非线性阻尼对能量收集器性能的影响提供了新的见解。结果表明，随着尖端质量的增加，能量收集器的频率响应曲线从非线性硬化类型变为非线性软化类型，并且能量收集器的工作带宽和输出电压增大。对于参量激励，二次阻尼的变化不会改变采集器的初始阈值，也不会改变频率响应曲线的两个跨临界分叉点的位置。起始阈值随着尖端质量的增加而降低。混合参数激励和外部激励可增强能量收集器的带宽和输出电压，这可能将被用作改善能量收集系统性能的理想方法。能量收集器的频率响应曲线从非线性硬化类型变为非线性软化类型，并且能量收集器的工作带宽和输出电压增大。对于参量激励，二次阻尼的变化不会改变采集器的初始阈值，也不会改变频率响应曲线的两个跨临界分叉点的位置。起始阈值随着尖端质量的增加而降低。混合参数激励和外部激励可增强能量收集器的带宽和输出电压，这可能将被用作改善能量收集系统性能的理想方法。能量收集器的频率响应曲线从非线性硬化类型变为非线性软化类型，并且能量收集器的工作带宽和输出电压增大。对于参量激励，二次阻尼的变化不会改变采集器的初始阈值，也不会改变频率响应曲线的两个跨临界分叉点的位置。起始阈值随着尖端质量的增加而降低。混合参数激励和外部激励可增强能量收集器的带宽和输出电压，这可能将被用作改善能量收集系统性能的理想方法。对于参量激励，二次阻尼的变化不会改变采集器的初始阈值，也不会改变频率响应曲线的两个跨临界分叉点的位置。起始阈值随着尖端质量的增加而降低。混合参数激励和外部激励可增强能量收集器的带宽和输出电压，这可能将被用作改善能量收集系统性能的理想方法。对于参量激励，二次阻尼的变化不会改变采集器的初始阈值，也不会改变频率响应曲线的两个跨临界分叉点的位置。起始阈值随着尖端质量的增加而降低。混合参数激励和外部激励可增强能量收集器的带宽和输出电压，这可能将被用作改善能量收集系统性能的理想方法。