In this paper we investigate rods made of nonlinearly elastic, composite–materials that feature a micro-heterogeneous prestrain that oscillates (locally periodic) on a scale that is small compared to the length of the rod. As a main result we derive a homogenized bending–torsion theory for rods as Γ $\Gamma $ -limit from 3D nonlinear elasticity by simultaneous homogenization and dimension reduction under the assumption that the prestrain is of the order of the diameter of the rod. The limit model features a spontaneous curvature–torsion tensor that captures the macroscopic effect of the micro-heterogeneous prestrain. We devise a formula that allows to compute the spontaneous curvature–torsion tensor by means of a weighted average of the given prestrain. The weight in the average depends on the geometry of the composite and invokes correctors that are defined with help of boundary value problems for the system of linear elasticity. The definition of the correctors depends on a relative scaling parameter γ $\gamma $ , which monitors the ratio between the diameter of the rod and the period of the composite’s microstructure. We observe an interesting size-effect: For the same prestrain a transition from flat minimizers to curved minimizers occurs by just changing the value of γ $\gamma $ . Moreover, in the paper we analytically investigate the microstructure-properties relation in the case of isotropic, layered composites, and consider applications to nematic liquid–crystal–elastomer rods and shape programming.

中文翻译：

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微非均质预应变杆的均质弯曲-扭转理论推导

在本文中，我们研究了由非线性弹性复合材料制成的杆，该杆具有微异质预应变，该预应变在与杆长度相比较小的尺度上振荡（局部周期性）。作为主要结果，我们在假设预应变为杆的直径数量级的情况下，通过同时均质化和尺寸减小，从 3D 非线性弹性中推导出均质化弯曲 - 扭转理论作为 Γ$\Gamma$ -limit。极限模型具有自发曲率-扭转张量，可捕捉微观异质预应变的宏观效应。我们设计了一个公式，允许通过给定预应变的加权平均值来计算自发曲率 - 扭转张量。平均值中的权重取决于复合材料的几何形状，并调用在线性弹性系统的边界值问题的帮助下定义的校正器。校正器的定义取决于相对缩放参数 γ $\gamma $ ，该参数监控杆直径与复合材料微观结构周期之间的比率。我们观察到一个有趣的尺寸效应：对于相同的预应变，只需改变 γ $\gamma $ 的值，就会发生从平面最小化器到弯曲最小化器的过渡。此外，在本文中，我们分析了各向同性层状复合材料的微观结构-性能关系，并考虑了向列液晶弹性体棒和形状规划的应用。校正器的定义取决于相对缩放参数 γ $\gamma $ ，该参数监控杆直径与复合材料微观结构周期之间的比率。我们观察到一个有趣的尺寸效应：对于相同的预应变，只需改变 γ $\gamma $ 的值，就会发生从平面最小化器到弯曲最小化器的过渡。此外，在本文中，我们分析了各向同性层状复合材料的微观结构-性能关系，并考虑了向列液晶弹性体棒和形状规划的应用。校正器的定义取决于相对缩放参数 γ $\gamma $ ，该参数监控杆直径与复合材料微观结构周期之间的比率。我们观察到一个有趣的尺寸效应：对于相同的预应变，只需改变 γ $\gamma $ 的值，就会发生从平面最小化器到弯曲最小化器的过渡。此外，在本文中，我们分析了各向同性层状复合材料的微观结构-性能关系，并考虑了向列液晶弹性体棒和形状规划的应用。对于相同的预应变，只要改变 γ $\gamma $ 的值，就会发生从平面极小值到弯曲极小值的过渡。此外，在本文中，我们分析了各向同性层状复合材料的微观结构-性能关系，并考虑了向列液晶弹性体棒和形状规划的应用。对于相同的预应变，只要改变 γ $\gamma $ 的值，就会发生从平面极小值到弯曲极小值的过渡。此外，在本文中，我们分析了各向同性层状复合材料的微观结构-性能关系，并考虑了向列液晶弹性体棒和形状规划的应用。