A subgroup A is called seminormal in a group G if there exists a subgroup B such that G = AB and AX is a subgroup of G for every subgroup X of B . Studying a group of the form G = AB with seminormal supersoluble subgroups A and B , we prove that $$G^{\mathfrak{U}}=\left(G^{\prime}\right)^{\mathfrak{N}}$$ G U = ( G ′ ) N . Moreover, if the indices of the subgroups A and B of G are coprime then $$G^{\mathfrak{U}}=\left(G^{\mathfrak{N}}\right)^{2}$$ G U = ( G N ) 2 . Here $$\mathfrak{N}$$ N , $$\mathfrak{U}$$ U , and $$\mathfrak{N}^2$$ N 2 are the formations of all nilpotent, supersoluble, and metanilpotent groups respectively, while $$H^{\mathfrak{X}}$$ H X is the $$\mathfrak{X}$$ X -residual of H . We also prove the supersolubility of G = AB when all Sylow subgroups of A and B are seminormal in G .

中文翻译：

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关于具有半正规子群的群的超溶解性

如果存在一个子群 B 使得 G = AB 并且 AX 是 B 的每个子群 X 的 G 子群，则子群 A 在群 G 中被称为半正态。研究具有半正规超可溶子群 A 和 B 的 G = AB 形式的群，我们证明 $$G^{\mathfrak{U}}=\left(G^{\prime}\right)^{\mathfrak{N }}$$ GU = ( G ′ ) N 。此外，如果 G 的子群 A 和 B 的索引互质，则 $$G^{\mathfrak{U}}=\left(G^{\mathfrak{N}}\right)^{2}$$ GU = (GN) 2。这里 $$\mathfrak{N}$$ N 、 $$\mathfrak{U}$$ U 和 $$\mathfrak{N}^2$$ N 2 分别是所有幂零群、超溶群和元幂群的形成，而 $$H^{\mathfrak{X}}$$ HX 是 $$\mathfrak{X}$$ X - H 的残差。我们还证明了当 A 和 B 的所有 Sylow 子群在 G 中都是半正态时 G = AB 的超溶解性。