We investigate level-set percolation of the discrete Gaussian free field on $${\mathbb {Z}}^d$$ Z d , $$d\ge 3$$ d ≥ 3 , in the strongly percolative regime. We consider the event that the level-set of the Gaussian free field below a level $$\alpha $$ α disconnects the discrete blow-up of a compact set $$A\subseteq {\mathbb {R}}^d$$ A ⊆ R d from the boundary of an enclosing box. We derive asymptotic large deviation upper bounds on the probability that the local averages of the Gaussian free field deviate from a specific multiple of the harmonic potential of A , when disconnection occurs. These bounds, combined with the findings of the recent work by Duminil-Copin, Goswami, Rodriguez and Severo, show that conditionally on disconnection, the Gaussian free field experiences an entropic push-down proportional to the harmonic potential of A . In particular, due to the slow decay of correlations, the disconnection event affects the field on the whole lattice. Furthermore, we provide a certain ‘profile’ description for the field in the presence of disconnection. We show that while on a macroscopic scale the field is pinned around a level proportional to the harmonic potential of A , it locally retains the structure of a Gaussian free field shifted by a constant value. Our proofs rely crucially on the ‘solidification estimates’ developed in Nitzschner and Sznitman (to appear in J Eur Math Soc, arXiv:1706.07229 ).

中文翻译：

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以水平集断开为条件的高斯自由场的熵斥力

我们在强渗透机制中研究了 $${\mathbb {Z}}^d$$ Z d , $$d\ge 3$$ d ≥ 3 上离散高斯自由场的水平集渗透。我们考虑这样一个事件，即低于 $$\alpha $$ α 水平的高斯自由场的水平集断开了紧致集合 $$A\subseteq {\mathbb {R}}^d$$ 的离散爆炸A ⊆ R d 距离封闭框的边界。当断开发生时，我们推导出高斯自由场的局部平均值偏离 A 的谐波电位的特定倍数的概率的渐近大偏差上限。这些界限与 Duminil-Copin、Goswami、Rodriguez 和 Severo 最近工作的发现相结合，表明在断开连接的条件下，高斯自由场经历了与 A 的谐波势成正比的熵下推。特别是，由于相关性衰减缓慢，断开事件会影响整个晶格上的场。此外，我们在存在断开连接的情况下为该字段提供了特定的“配置文件”描述。我们表明，虽然在宏观尺度上，场被固定在与 A 的谐波势成比例的水平附近，但它在局部保留了高斯自由场的结构，该结构偏移了一个恒定值。我们的证明主要依赖于 Nitzschner 和 Sznitman 开发的“凝固估计”（出现在 J Eur Math Soc, arXiv:1706.07229 中）。我们表明，虽然在宏观尺度上，场被固定在与 A 的谐波势成比例的水平附近，但它在局部保留了高斯自由场的结构，该结构偏移了一个恒定值。我们的证明主要依赖于 Nitzschner 和 Sznitman 开发的“凝固估计”（出现在 J Eur Math Soc, arXiv:1706.07229 中）。我们表明，虽然在宏观尺度上，场被固定在与 A 的谐波势成比例的水平附近，但它在局部保留了高斯自由场的结构，该结构偏移了一个恒定值。我们的证明主要依赖于 Nitzschner 和 Sznitman 开发的“凝固估计”（出现在 J Eur Math Soc, arXiv:1706.07229 中）。