In this paper, we derive regular criteria via pressure or gradient of velocity in Lorentz spaces to the 3D Navier–Stokes equations. It is shown that a Leray–Hopf weak solution is regular on (0, T] provided that either the norm \(\Vert \Pi \Vert _{L^{p,\infty }(0,T; L ^{q,\infty }({\mathbb {R}}^{3}))} \) with \( \frac{2}{p}+\frac{3}{q}=2\) \((\frac{3}{2}<q<\infty )\) or \(\Vert \nabla \Pi \Vert _{L^{p,\infty }(0,T; L ^{q,\infty }({\mathbb {R}}^{3}))} \) with \( \frac{2}{p}+\frac{3}{q}=3\) \((1<q<\infty )\) is small. This gives an affirmative answer to a question proposed by Suzuki (Theory Methods Appl 75:3849–3853, 2012, Remark 2.4, p. 3850). Moreover, regular conditions in terms of \(\nabla u\) obtained here generalize known ones to allow the time direction to belong to Lorentz spaces.

中文翻译：

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基于压力或速度梯度的Lorentz空间中3D Navier–Stokes方程的新规则性准则

在本文中，我们通过洛伦兹空间中的压力或速度梯度将常规准则推导出3D Navier–Stokes方程。结果表明，一个的Leray-的Hopf弱溶液是常规上（0，  Ť提供]，要么常态\（\ Vert的\裨\ Vert的_ {L ^ {P，\ infty}（0，T; L ^ {Q ，\ infty}（{\ mathbb {R}} ^ {3}）}} \）与\（\ frac {2} {p} + \ frac {3} {q} = 2 \） \（（\ frac {3} {2} <q <\ infty} \）或\（\ Vert \ nabla \ Pi \ Vert _ {L ^ {p，\ infty}（0，T; L ^ {q，\ infty}（{ \ mathbb {R}} ^ {3}）}}}}与\（\ frac {2} {p} + \ frac {3} {q} = 3 \） \（（1 <q <\ infty）\ ）是小这给出了肯定的答案铃木（理论方法申请75提出了一个问题：。3849-3853，2012年，备注2.4，p 3850）。此外，在以下方面定期条件这里获得的\（\ nabla u \）归纳了已知的那些，以使时间方向属于Lorentz空间。