For a finite subgroup $\Gamma\subset \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ and for $n\geq 1$, we use variation of GIT quotient for Nakajima quiver varieties to study the birational geometry of the Hilbert scheme of $n$ points on the minimal resolution $S$ of the Kleinian singularity $\mathbb{C}^2/\Gamma$. It is well known that $X:=\mathrm{Hilb}^{[n]}(S)$ is a projective, crepant resolution of the symplectic singularity $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$, where $\Gamma_n=\Gamma\wr\mathfrak{S}_n$ is the wreath product. We prove that every projective, crepant resolution of $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ can be realised as the fine moduli space of $\theta$-stable $\Pi$-modules for a fixed dimension vector, where $\Pi$ is the framed preprojective algebra of $\Gamma$ and $\theta$ is a choice of generic stability condition. Our approach uses the linearisation map from GIT to relate wall crossing in the space of $\theta$-stability conditions to birational transformations of $X$ over $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$. As a corollary, we describe completely the ample and movable cones of $X$ over $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$, and show that the Mori chamber decomposition of the movable cone is determined by an extended Catalan hyperplane arrangement of the ADE root system associated to $\Gamma$ by the McKay correspondence. In the appendix, we show that morphisms of quiver varieties induced by variation of GIT quotient are semismall, generalising a result of Nakajima in the case where the quiver variety is smooth.

中文翻译：

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辛商奇点的双有理几何

对于有限子群 $\Gamma\subset\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 和 $n\geq 1$，我们使用 Nakajima quiver 变体的 GIT 商的变化来研究在 Kleinian 奇点 $\mathbb{C}^2/\Gamma$ 的最小分辨率 $S$ 上的 $n$ 点的希尔伯特方案。众所周知，$X:=\mathrm{Hilb}^{[n]}(S)$ 是辛奇点 $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ 的投影、蠕变分辨率，其中$\Gamma_n=\Gamma\wr\mathfrak{S}_n$ 是花环积。我们证明 $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ 的每一个投影、蠕动分辨率都可以实现为固定维向量的 $\theta$-stable $\Pi$-modules 的精细模空间，其中 $\Pi$ 是 $\Gamma$ 的框架前投影代数，$\theta$ 是一般稳定性条件的选择。我们的方法使用来自 GIT 的线性化映射将 $\theta$-稳定条件空间中的墙交叉与 $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ 上的 $X$ 双有理变换联系起来。作为推论，我们在 $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ 上完整地描述了 $X$ 的充足和可动锥，并表明可动锥的 Mori 室分解由扩展的加泰罗尼亚超平面决定通过 McKay 对应关系与 $\Gamma$ 关联的 ADE 根系统的排列。在附录中，我们证明了由 GIT 商的变化引起的箭袋变体的态射是半小的，概括了中岛在箭袋变体光滑的情况下的结果。我们在 $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ 上完整地描述了 $X$ 的充足和可动锥，并表明可动锥的 Mori 室分解是由 ADE 的扩展加泰罗尼亚超平面排列决定的通过 McKay 对应关系与 $\Gamma$ 关联的根系统。在附录中，我们证明了由 GIT 商的变化引起的箭袋变体的态射是半小的，概括了中岛在箭袋变体光滑的情况下的结果。我们在 $\mathbb{C}^{2n}/\Gamma_n$ 上完整地描述了 $X$ 的充足和可动锥，并表明可动锥的 Mori 室分解是由 ADE 的扩展加泰罗尼亚超平面排列决定的通过 McKay 对应关系与 $\Gamma$ 关联的根系统。在附录中，我们证明了由 GIT 商的变化引起的箭袋变体的态射是半小的，概括了中岛在箭袋变体光滑的情况下的结果。