In this paper we study the initial–boundary value problem for a damped nonlinear hyperbolic equation $u_{tt}+{\Delta }^{2}u+\alpha {\Delta }^2{u}_t+\Delta f\left(\Delta u\right)=0,x\in \Omega ,t>0,u(x,0)=u_0\left(x\right),u_t(x,0)=u_1\left(x\right),x\in \Omega ,u=0\Delta u=0,x\in \partial \Omega ,t\ge 0,$ where $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, $n\ge 1$ and $\alpha$ is a positive constant. Under some assumptions on $f\left(s\right)$ and initial data, we prove the global existence of solution. Furthermore, we prove that the solution decays to zero exponentially.

中文翻译：

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阻尼非线性双曲型方程解的整体存在性和渐近性质

在本文中，我们研究了阻尼非线性双曲型方程的初边值问题 ${ü}_{ŤŤ}+{\Delta }^2ü+\alpha {\Delta }^2{ü}_{Ť}+\Delta F（\Delta ü）=0，X\in \Omega ，Ť>0，ü（X，0）={ü}_0（X），{ü}_{Ť}（X，0）={ü}_{\mathrm{1个}}（X），X\in \Omega ，ü=0\Delta ü=0，X\in \partial \Omega ，Ť\ge 0，$ 哪里 $\Omega \subset {\mathbb{[R}}^{ñ}$， $ñ\ge \mathrm{1个}$ 和 $\alpha$是一个正常数。根据一些假设$F（s）$和初始数据，我们证明了解决方案的全球存在。此外，我们证明了该解呈指数衰减至零。