AbstractThe question of list-decoding error-correcting codes over finite fields (under the Hamming metric) has been widely studied in recent years. Motivated by the similar discrete linear structure of linear codes and point lattices in $${\mathbb{R}^{N}}$$RN, and their many shared applications across complexity theory, cryptography, and coding theory, we initiate the study of list decoding for lattices. Namely: for a lattice $${\mathcal{L}\subseteq \mathbb{R}^N}$$L⊆RN, given a target vector $${r \in \mathbb{R}^N}$$r∈RN and a distance parameter d, output the set of all lattice points $${w \in \mathcal{L}}$$w∈L that are within distance d of r.In this work, we focus on combinatorial and algorithmic questions related to list decoding for the well-studied family of Barnes–Wall lattices. Our main contributions are twofold: 1.We give tight combinatorial bounds on the worst-case list size, showing it to be polynomial in the lattice dimension for any error radius bounded away from the lattice’s minimum distance (in the Euclidean norm).2. We use our combinatorial bounds to generalize the unique-decoding algorithm of Micciancio and Nicolosi (IEEE International Symposium on Information Theory 2008) to work beyond the unique-decoding radius and still run in polynomial time up to the list-decoding radius. Just like the Micciancio–Nicolosi algorithm, our algorithm is highly parallelizable, and with sufficiently many processors, it can run in parallel time only poly-logarithmic in the lattice dimension.

中文翻译：

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列表解码 Barnes-Wall 格子

摘要 近年来，在有限域上（在汉明度量下）的列表解码纠错码问题得到了广泛的研究。受 $${\mathbb{R}^{N}}$$RN 中线性码和点格的类似离散线性结构的启发，以及它们在复杂性理论、密码学和编码理论中的许多共享应用，我们发起了这项研究格的列表解码。即：对于一个格 $${\mathcal{L}\subseteq \mathbb{R}^N}$$L⊆RN，给定一个目标向量 $${r \in \mathbb{R}^N}$$r ∈RN 和一个距离参数 d，输出在 r 的距离 d 内的所有格点 $${w \in \mathcal{L}}$$w∈L 的集合。在这项工作中，我们专注于组合和算法与经过充分研究的 Barnes-Wall 格族的列表解码相关的问题。我们的主要贡献有两个方面：1。我们对最坏情况列表大小给出了严格的组合边界，表明对于任何远离晶格最小距离（欧几里德范数）的误差半径，它都是晶格维度中的多项式。2。我们使用我们的组合边界来概括 Micciancio 和 Nicolosi（IEEE 国际信息理论研讨会 2008）的唯一解码算法，以在唯一解码半径之外工作，并且仍然在多项式时间内运行到列表解码半径。就像 Micciancio-Nicolosi 算法一样，我们的算法是高度可并行化的，并且有足够多的处理器，它只能在晶格维度上以多对数的方式并行运行。表明它是晶格维度中的多项式，对于任何远离晶格最小距离的误差半径（在欧几里德范数中）。 2。我们使用我们的组合边界来概括 Micciancio 和 Nicolosi（IEEE 国际信息理论研讨会 2008）的唯一解码算法，以在唯一解码半径之外工作，并且仍然在多项式时间内运行到列表解码半径。就像 Micciancio-Nicolosi 算法一样，我们的算法是高度可并行化的，并且有足够多的处理器，它只能在晶格维度上以多对数的方式并行运行。显示它是晶格维度中的多项式，对于任何远离晶格最小距离的误差半径（在欧几里德范数中）。 2。我们使用我们的组合边界来概括 Micciancio 和 Nicolosi（IEEE 国际信息理论研讨会 2008）的唯一解码算法，以在唯一解码半径之外工作，并且仍然在多项式时间内运行到列表解码半径。就像 Micciancio-Nicolosi 算法一样，我们的算法是高度可并行化的，并且有足够多的处理器，它只能在晶格维度上以多对数的方式并行运行。我们使用我们的组合边界来概括 Micciancio 和 Nicolosi（IEEE 国际信息理论研讨会 2008）的唯一解码算法，以在唯一解码半径之外工作，并且仍然在多项式时间内运行到列表解码半径。就像 Micciancio-Nicolosi 算法一样，我们的算法是高度可并行化的，并且有足够多的处理器，它只能在晶格维度上以多对数的方式并行运行。我们使用我们的组合边界来概括 Micciancio 和 Nicolosi（IEEE 国际信息理论研讨会 2008）的唯一解码算法，以在唯一解码半径之外工作，并且仍然在多项式时间内运行到列表解码半径。就像 Micciancio-Nicolosi 算法一样，我们的算法是高度可并行化的，并且有足够多的处理器，它只能在晶格维度上以多对数的方式并行运行。