A finite dynamical system (FDS) is a system of multivariate functions over a finite alphabet, that is typically used to model a network of interacting entities. The main feature of a finite dynamical system is its interaction graph, which indicates which local functions depend on which variables; the interaction graph is a qualitative representation of the interactions amongst entities on the network. As such, a major problem is to determine the effect of the interaction graph on the dynamics of the FDS. In this paper, we are interested in three main properties of an FDS: the number of images (the so-called rank), the number of periodic points (the so-called periodic rank) and the number of fixed points. In particular, we investigate the minimum, average, and maximum number of images (or periodic points, or fixed points) of FDSs with a prescribed interaction graph and a given alphabet size; thus yielding nine quantities to study. The paper is split into two parts. The first part considers the minimum rank, for which we derive the first meaningful results known so far. In particular, we show that the minimum rank decreases with the alphabet size, thus yielding the definition of an absolute minimum rank. We obtain lower and upper bounds on this absolute minimum rank, and we give classification results for graphs with very low (or highest) rank. The second part is a comprehensive survey of the results obtained on the nine quantities described above. We not only give a review of known results, but we also give a list of relevant open questions.

中文翻译：

---

关于相互作用图对有限动力系统的影响

有限动力系统（FDS）是在有限字母上的多元函数系统，通常用于建模交互实体的网络。有限动力系统的主要特征是它的相互作用图，它指出了哪些局部函数取决于哪些变量。交互图是网络上实体之间交互的定性表示。这样，一个主要问题是确定交互图对FDS动力学的影响。在本文中，我们对FDS的三个主要属性感兴趣：图像数量（所谓的秩），周期点的数量（所谓的周期秩）和固定点的数量。具体来说，我们调查图像的最小，平均和最大数量（或周期点，或固定点）具有规定的交互图和给定的字母大小的FDS；这样就产生了九个要研究的数量。本文分为两部分。第一部分考虑了最低排名，为此我们可以得出迄今为止已知的第一个有意义的结果。特别是，我们表明最小等级随着字母的大小而减小，从而得出了绝对最小等级的定义。我们获得该绝对最小等级的上下限，并给出具有非常低（或最高）等级的图的分类结果。第二部分是对上述九种数量获得的结果的全面调查。我们不仅回顾已知结果，而且列出相关的未解决问题。本文分为两部分。第一部分考虑了最低排名，为此我们可以得出迄今为止已知的第一个有意义的结果。特别是，我们表明最小等级随着字母的大小而减小，从而得出了绝对最小等级的定义。我们获得该绝对最小等级的上下限，并给出具有非常低（或最高）等级的图的分类结果。第二部分是对上述九种数量获得的结果的全面调查。我们不仅回顾已知结果，而且列出相关的未解决问题。本文分为两部分。第一部分考虑了最低排名，为此我们可以得出迄今为止已知的第一个有意义的结果。特别是，我们表明最小等级随着字母的大小而减小，从而得出了绝对最小等级的定义。我们获得该绝对最小等级的上下限，并给出具有非常低（或最高）等级的图的分类结果。第二部分是对上述九种数量获得的结果的全面调查。我们不仅回顾已知结果，而且列出相关的未解决问题。因此得出绝对最小等级的定义。我们获得该绝对最小等级的上下限，并给出具有非常低（或最高）等级的图的分类结果。第二部分是对上述九种数量获得的结果的全面调查。我们不仅回顾已知结果，而且列出相关的未解决问题。因此得出绝对最小等级的定义。我们获得该绝对最小等级的上下限，并给出具有非常低（或最高）等级的图的分类结果。第二部分是对上述九种数量获得的结果的全面调查。我们不仅回顾已知结果，而且列出相关的未解决问题。