One of the major challenges of the research in circuit complexity is proving super-polynomial lower bounds for de Morgan formulas. Karchmer et al. (Comput Complex 5(3/4):191–204, 1995b) suggested to approach this problem by proving that formula complexity behaves “as expected” with respect to the composition of functions $${f\diamond g}$$f⋄g . They showed that this conjecture, if proved, would imply super-polynomial formula lower bounds.The first step toward proving the KRW conjecture was made by Edmonds et al. (Comput Complex 10(3):210–246, 2001), who proved an analogue of the conjecture for the composition of “universal relations.” In this work, we extend the argument of Edmonds et al. (2001) further to $${f\diamond g}$$f⋄g where f is an arbitrary function and g is the parity function. While this special case of the KRW conjecture was already proved implicitly in Håstad’s work on random restrictions (Håstad in SIAM J Comput 27(1):48–64, 1998), our proof seems more likely to be generalizable to other cases of the conjecture. In particular, our proof uses an entirely different approach, based on communication complexity technique of Karchmer & Wigderson in (SIAM J Discrete Math 3(2):255–265, 1990). In addition, our proof gives a new structural result, which roughly says that the naive way for computing $${f\diamond g}$$f⋄g is the only optimal way. Along the way, we obtain a new proof of the state-of-the-art formula lower bound of n3-o(1) due to Håstad (1998).

中文翻译：

---

走向 KRW 组合猜想：通过通信复杂性的三次公式下界

电路复杂性研究的主要挑战之一是证明 de Morgan 公式的超多项式下界。卡奇默等人。(Comput Complex 5(3/4):191–204, 1995b) 建议通过证明公式复杂性在函数 $${f\diamond g}$$f⋄ 的组合方面表现“如预期”来解决这个问题G 。他们表明，如果证明这个猜想，将意味着超多项式公式的下界。证明 KRW 猜想的第一步是由 Edmonds 等人提出的。（Comput Complex 10(3):210–246, 2001），他证明了“普遍关系”的组成猜想的类似物。在这项工作中，我们扩展了 Edmonds 等人的论点。(2001) 进一步到 $${f\diamond g}$$f⋄g，其中 f 是任意函数，g 是奇偶校验函数。虽然 KRW 猜想的这种特殊情况已经在 Håstad 关于随机限制的工作（Håstad in SIAM J Comput 27(1):48–64, 1998）中得到了隐含证明，但我们的证明似乎更有可能推广到其他情况下的猜想. 特别是，我们的证明使用了一种完全不同的方法，基于 Karchmer & Wigderson 在 (SIAM J Discrete Math 3(2):255–265, 1990) 中的通信复杂性技术。此外，我们的证明给出了一个新的结构结果，粗略地说，计算 $${f\diamond g}$$f⋄g 的幼稚方法是唯一的最优方法。在此过程中，由于 Håstad (1998)，我们获得了 n3-o(1) 的最新公式下界的新证明。我们的证明似乎更有可能推广到猜想的其他情况。特别是，我们的证明使用了一种完全不同的方法，基于 Karchmer & Wigderson 在 (SIAM J Discrete Math 3(2):255–265, 1990) 中的通信复杂性技术。此外，我们的证明给出了一个新的结构结果，粗略地说，计算 $${f\diamond g}$$f⋄g 的幼稚方法是唯一的最优方法。在此过程中，由于 Håstad (1998)，我们获得了 n3-o(1) 的最新公式下界的新证明。我们的证明似乎更有可能推广到猜想的其他情况。特别是，我们的证明使用了一种完全不同的方法，基于 Karchmer & Wigderson 在 (SIAM J Discrete Math 3(2):255–265, 1990) 中的通信复杂性技术。此外，我们的证明给出了一个新的结构结果，粗略地说，计算 $${f\diamond g}$$f⋄g 的幼稚方法是唯一的最优方法。在此过程中，由于 Håstad (1998)，我们获得了 n3-o(1) 的最新公式下界的新证明。粗略地说，计算 $${f\diamond g}$$f⋄g 的天真方法是唯一的最佳方法。在此过程中，由于 Håstad (1998)，我们获得了 n3-o(1) 的最新公式下界的新证明。粗略地说，计算 $${f\diamond g}$$f⋄g 的天真方法是唯一的最佳方法。在此过程中，由于 Håstad (1998)，我们获得了 n3-o(1) 的最新公式下界的新证明。