Departing from a two-dimensional hyperbolic system that describes the interaction between some activator and inhibitor substances in chemical reactions, we investigate a general form of that model using a finite-difference approach. The model under investigation is a nonlinear system consisting of two coupled partial differential equations with generalized reaction terms. The presence of two-dimensional diffusive terms consisting of fractional operators of the Riesz type is considered here, using spatial differentiation orders in the set (0,1)∪(1,2]\documentclass[12pt]{minimal} \usepackage{amsmath} \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$(0 , 1) \cup (1 , 2]$$\end{document}. We impose initial conditions on a closed and bounded rectangle, and a four-step fully explicit finite-difference methodology based on the use of fractional-order centered differences is proposed. Among the most important results of this work, we establish analytically the second-order consistency of our scheme. Moreover, a discrete form of the energy method is employed to prove the stability, the boundedness and the quadratic convergence of the technique. Some numerical simulations obtained through our method show the appearance of Turing patterns and wave instabilities, in agreement with some reports found in the literature on superdiffusive hyperbolic activator–inhibitor systems.

中文翻译：

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一种有效且完全明确的模型，用于模拟具有异常扩散的延迟激活剂-抑制剂系统

从描述化学反应中某些活化剂和抑制剂物质之间相互作用的二维双曲线系统出发，我们使用有限差分方法研究了该模型的一般形式。所研究的模型是一个非线性系统，由两个具有广义反应项的耦合偏微分方程组成。这里考虑了由 Riesz 类型的分数运算符组成的二维扩散项的存在，使用集合 (0,1)∪(1,2]\documentclass[12pt]{minimal}\usepackage{amsmath } \usepackage{wasysym} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsbsy} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{upgreek} \setlength{\oddsidemargin}{-69pt} \begin{document}$$(0 , 1) \cup (1 , 2]$$\end{document}. 我们在封闭和有界矩形上施加初始条件，并提出了基于使用分数阶中心差分的四步完全显式有限差分方法。在这项工作最重要的结果中，我们通过分析建立了我们方案的二阶一致性。此外，采用离散形式的能量方法来证明该技术的稳定性、有界性和二次收敛性。通过我们的方法获得的一些数值模拟显示了图灵模式和波不稳定性的出现，这与文献中关于超扩散双曲线激活剂 - 抑制剂系统的一些报道一致。在这项工作最重要的结果中，我们通过分析建立了我们方案的二阶一致性。此外，采用离散形式的能量方法来证明该技术的稳定性、有界性和二次收敛性。通过我们的方法获得的一些数值模拟显示了图灵模式和波不稳定性的出现，这与文献中关于超扩散双曲线激活剂 - 抑制剂系统的一些报道一致。在这项工作最重要的结果中，我们通过分析建立了我们方案的二阶一致性。此外，采用离散形式的能量方法来证明该技术的稳定性、有界性和二次收敛性。通过我们的方法获得的一些数值模拟显示了图灵模式和波不稳定性的出现，这与文献中关于超扩散双曲线激活剂 - 抑制剂系统的一些报道一致。