In this work we study an inverse problem of recovering a space-time-dependent diffusion coefficient in the subdiffusion model from the distributed observation, where the mathematical model involves a Djrbashian–Caputo fractional derivative of order $\alpha \in (0,1)$ in time. The main technical challenges of both theoretical and numerical analyses lie in the limited smoothing properties due to the fractional differential operator and high degree of nonlinearity of the forward map from the unknown diffusion coefficient to the distributed observation. We establish two conditional stability results using a novel test function, which leads to a stability bound in $L^2(0,T;L^2(\varOmega ))$ under a suitable positivity condition. The positivity condition is verified for a large class of problem data. Numerically, we develop a rigorous procedure for recovering the diffusion coefficient based on a regularized least-squares formulation, which is then discretized by the standard Galerkin method with continuous piecewise linear elements in space and backward Euler convolution quadrature in time. We provide a complete error analysis of the fully discrete formulation, by combining several new error estimates for the direct problem (optimal in terms of data regularity), a discrete version of fractional maximal $L^p$ regularity and a nonstandard energy argument. Under the positivity condition, we obtain a standard $\ell ^2(L^2(\varOmega ))$ error estimate consistent with the conditional stability. Further, we illustrate the analysis with some numerical examples.

中文翻译：

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子扩散中时空相关扩散系数的恢复：稳定性、近似和误差分析

在这项工作中，我们研究了从分布式观测中恢复子扩散模型中时空相关扩散系数的逆问题，其中数学模型涉及 $\alpha \in (0,1) 阶的 Djrbashian-Caputo 分数导数$ 及时。理论和数值分析的主要技术挑战在于分数微分算子的有限平滑特性和从未知扩散系数到分布观测的前向图的高度非线性。我们使用一种新的测试函数建立了两个条件稳定性结果，这导致了在合适的正性条件下 $L^2(0,T;L^2(\varOmega ))$ 的稳定性界限。针对一大类问题数据验证了积极性条件。数值上，我们开发了一个基于正则化最小二乘公式来恢复扩散系数的严格程序，然后通过标准 Galerkin 方法在空间中使用连续的分段线性元素和时间上的反向欧拉卷积求积进行离散化。我们通过结合直接问题的几个新误差估计（就数据规律性而言是最佳的）、分数最大 $L^p$ 规律性的离散版本和非标准能量参数，提供了完全离散公式的完整误差分析。在正性条件下，我们获得了与条件稳定性一致的标准 $\ell ^2(L^2(\varOmega ))$ 误差估计。此外，我们用一些数值例子来说明分析。然后通过标准 Galerkin 方法在空间中使用连续的分段线性元素和时间上的反向欧拉卷积求积进行离散化。我们通过结合直接问题的几个新误差估计（就数据规律性而言是最佳的）、分数最大 $L^p$ 规律性的离散版本和非标准能量参数，提供了完全离散公式的完整误差分析。在正性条件下，我们获得了与条件稳定性一致的标准 $\ell ^2(L^2(\varOmega ))$ 误差估计。此外，我们用一些数值例子来说明分析。然后通过标准 Galerkin 方法在空间中使用连续的分段线性元素和时间上的反向欧拉卷积求积进行离散化。我们通过结合直接问题的几个新误差估计（就数据规律性而言是最佳的）、分数最大 $L^p$ 规律性的离散版本和非标准能量参数，提供了完全离散公式的完整误差分析。在正性条件下，我们获得了与条件稳定性一致的标准 $\ell ^2(L^2(\varOmega ))$ 误差估计。此外，我们用一些数值例子来说明分析。通过结合直接问题的几个新误差估计（就数据规律性而言是最优的）、分数最大 $L^p$ 规律性的离散版本和非标准能量参数。在正性条件下，我们获得了与条件稳定性一致的标准 $\ell ^2(L^2(\varOmega ))$ 误差估计。此外，我们用一些数值例子来说明分析。通过结合直接问题的几个新误差估计（就数据规律性而言是最优的）、分数最大 $L^p$ 规律性的离散版本和非标准能量参数。在正性条件下，我们获得了与条件稳定性一致的标准 $\ell ^2(L^2(\varOmega ))$ 误差估计。此外，我们用一些数值例子来说明分析。