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Weighted simplicial complexes and their representation power of higher-order network data and topology
Physical Review E ( IF 2.2 ) Pub Date : 2022-09-26 , DOI: 10.1103/physreve.106.034319 Federica Baccini 1, 2 , Filippo Geraci 2 , Ginestra Bianconi 3, 4
Physical Review E ( IF 2.2 ) Pub Date : 2022-09-26 , DOI: 10.1103/physreve.106.034319 Federica Baccini 1, 2 , Filippo Geraci 2 , Ginestra Bianconi 3, 4
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Hypergraphs and simplical complexes both capture the higher-order interactions of complex systems, ranging from higher-order collaboration networks to brain networks. One open problem in the field is what should drive the choice of the adopted mathematical framework to describe higher-order networks starting from data of higher-order interactions. Unweighted simplicial complexes typically involve a loss of information of the data, though having the benefit to capture the higher-order topology of the data. In this work we show that weighted simplicial complexes allow one to circumvent all the limitations of unweighted simplicial complexes to represent higher-order interactions. In particular, weighted simplicial complexes can represent higher-order networks without loss of information, allowing one at the same time to capture the weighted topology of the data. The higher-order topology is probed by studying the spectral properties of suitably defined weighted Hodge Laplacians displaying a normalized spectrum. The higher-order spectrum of (weighted) normalized Hodge Laplacians is studied combining cohomology theory with information theory. In the proposed framework we quantify and compare the information content of higher-order spectra of different dimension using higher-order spectral entropies and spectral relative entropies. The proposed methodology is tested on real higher-order collaboration networks and on the weighted version of the simplicial complex model “Network Geometry with Flavor.”
中文翻译：
加权单纯复形及其对高阶网络数据和拓扑的表示能力
超图和简单复形都捕获了复杂系统的高阶交互，从高阶协作网络到大脑网络。该领域的一个悬而未决的问题是什么应该推动选择采用的数学框架来描述从高阶交互数据开始的高阶网络。未加权单纯复形通常涉及数据信息的丢失，尽管有利于捕获数据的高阶拓扑。在这项工作中，我们展示了加权单纯复形允许人们绕过未加权单纯复形的所有限制来表示高阶相互作用。特别是，加权单纯复形可以表示高阶网络而不会丢失信息，允许同时捕获数据的加权拓扑。通过研究显示归一化光谱的适当定义的加权霍奇拉普拉斯算子的光谱特性来探索高阶拓扑。结合上同调理论和信息论研究了（加权）归一化霍奇拉普拉斯算子的高阶谱。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。通过研究显示归一化光谱的适当定义的加权霍奇拉普拉斯算子的光谱特性来探索高阶拓扑。结合上同调理论和信息论研究了（加权）归一化霍奇拉普拉斯算子的高阶谱。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。通过研究显示归一化光谱的适当定义的加权霍奇拉普拉斯算子的光谱特性来探索高阶拓扑。结合上同调理论和信息论研究了（加权）归一化霍奇拉普拉斯算子的高阶谱。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。
更新日期：2022-09-26
中文翻译：
加权单纯复形及其对高阶网络数据和拓扑的表示能力
超图和简单复形都捕获了复杂系统的高阶交互，从高阶协作网络到大脑网络。该领域的一个悬而未决的问题是什么应该推动选择采用的数学框架来描述从高阶交互数据开始的高阶网络。未加权单纯复形通常涉及数据信息的丢失，尽管有利于捕获数据的高阶拓扑。在这项工作中，我们展示了加权单纯复形允许人们绕过未加权单纯复形的所有限制来表示高阶相互作用。特别是，加权单纯复形可以表示高阶网络而不会丢失信息，允许同时捕获数据的加权拓扑。通过研究显示归一化光谱的适当定义的加权霍奇拉普拉斯算子的光谱特性来探索高阶拓扑。结合上同调理论和信息论研究了（加权）归一化霍奇拉普拉斯算子的高阶谱。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。通过研究显示归一化光谱的适当定义的加权霍奇拉普拉斯算子的光谱特性来探索高阶拓扑。结合上同调理论和信息论研究了（加权）归一化霍奇拉普拉斯算子的高阶谱。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。通过研究显示归一化光谱的适当定义的加权霍奇拉普拉斯算子的光谱特性来探索高阶拓扑。结合上同调理论和信息论研究了（加权）归一化霍奇拉普拉斯算子的高阶谱。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。在所提出的框架中，我们使用高阶谱熵和谱相对熵来量化和比较不同维度的高阶谱的信息内容。所提出的方法在真实的高阶协作网络和单纯复数模型“具有风味的网络几何”的加权版本上进行了测试。
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