Finding a Maximum Clique is a classic property test from graph theory; find any one of the largest complete subgraphs in an Erd{\"o}s-R{\'e}nyi $G(N,p)$ random graph. It is the simplest of many such problems in which algorithms requiring only a small power of $N$ steps cannot reach solutions which probabilistic arguments show must exist, exposing an inherently "hard" phase within the solution space of the problem. Such "hard" phases are seen in many NP-Complete problems, in the limit when $N \to \infty$. But optimization problems arise and must be solved at finite N. We use this simplest case, MaxClique, to explore the structure of the problem as a function of $N$ and $K$, the clique size. It displays a complex phase boundary, a staircase of steps at each of which $2 \log_2N$ and $K_{\text{max}}$, the maximum size of clique that can be found, increase by $1$. Each of its boundaries have finite width, and these widths allow local algorithms to find cliques beyond the limits defined by the study of infinite systems. We explore the performance of a number of extensions of traditional fast local algorithms, and find that much of the "hard" space remains accessible at finite $N$. The "hidden clique" problem embeds a clique somewhat larger than those which occur naturally in a $G(N,p)$ random graph. Since such a clique is unique, we find that local searches which stop early, once evidence for the hidden clique is found, may outperform the best message passing or spectral algorithms.

中文翻译：

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硬优化问题有软边缘

寻找最大团是图论中的经典属性测试；在 Erd{\"o}sR{\'e}nyi $G(N,p)$ 随机图中找到任何一个最大的完全子图。这是许多此类问题中最简单的一个，其中算法只需要很小的幂$N$ 步骤无法达到概率论证明必须存在的解决方案，从而在问题的解决方案空间内暴露了一个固有的“困难”阶段。在许多 NP 完全问题中可以看到这种“困难”阶段，在 $N \to \infty$。但是出现了优化问题，必须在有限 N 处解决。我们使用这个最简单的情况 MaxClique，来探索问题的结构，它是 $N$ 和 $K$（集团规模）的函数。它显示一个复杂的相界，一个阶梯状的阶梯，每个阶梯都有 $2 \log_2N$ 和 $K_{\text{max}}$，可以找到的集团的最大规模，增加 1 美元。它的每个边界都有有限的宽度，这些宽度允许局部算法找到超出无限系统研究定义的限制的派系。我们探索了许多传统快速局部算法扩展的性能，发现大部分“硬”空间在有限的 $N$ 处仍然可以访问。“隐藏集团”问题嵌入了一个比 $G(N,p)$ 随机图中自然出现的集团稍大的集团。由于这样的集团是独一无二的，我们发现一旦找到隐藏集团的证据，提前停止的本地搜索可能会优于最佳消息传递或光谱算法。这些宽度允许局部算法找到超出无限系统研究定义的限制的派系。我们探索了许多传统快速局部算法扩展的性能，发现大部分“硬”空间在有限的 $N$ 处仍然可以访问。“隐藏集团”问题嵌入了一个比 $G(N,p)$ 随机图中自然出现的集团稍大的集团。由于这样的集团是独一无二的，我们发现一旦找到隐藏集团的证据，提前停止的本地搜索可能会优于最佳消息传递或光谱算法。这些宽度允许局部算法找到超出无限系统研究定义的限制的派系。我们探索了许多传统快速局部算法扩展的性能，发现大部分“硬”空间在有限的 $N$ 处仍然可以访问。“隐藏集团”问题嵌入了一个比 $G(N,p)$ 随机图中自然出现的集团稍大的集团。由于这样的集团是独一无二的，我们发现一旦找到隐藏集团的证据，提前停止的本地搜索可能会优于最佳消息传递或光谱算法。