The aim of this paper is to study symmetry and monotonicity of positive solutions for the following overdetermined problem {u(x)=A∫Ω|x−y|α−nu−p(y)dy+B,inΩ,u>0,inΩ, where α>n, p>0, A>0, B≥0, Ω⊂...

中文翻译：

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有界域负幂积分方程的超定问题

本文的目的是研究以下超定问题的正解的对称性和单调性$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle 你(X)=\mathrm{一个}{\int }_{\mathrm{\Omega }}|X-\mathrm{是的}{|}^{\alpha -n}{你}^{-p}(\mathrm{是的})\mathrm{d}\mathrm{是的}+乙,}& \mathrm{在}\mathrm{\Omega },\\ 你>0,& \mathrm{在}\mathrm{\Omega },\end{array}$在哪里$\alpha >n$, p >0, A >0,$乙\ge 0$,$\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^n$是有界域。我们首先证明$你=\mathrm{常量}.$上$\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }$当且仅当 Ω 是一个球。接下来我们考虑部分超定问题。如果Γ是一个适当的开集$\mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }$和u  =  C在$\mathrm{\Gamma }\subseteq \mathrm{\partial }\mathrm{\Omega }$，我们表明在Γ的几何形状的一些假设下，Ω是一个球。此外，我们利用移动平面的方法推导出上述方程的所有正解都是径向对称的，并且相对于半径单调递增。