In this paper we give a refinement of the one-dimensional form of Bilu’s Equidistribution Theorem together with some examples and applications. These include an explicit bound for the sum of the $e^{i\theta }$ taken over all conjugates $re^{i\theta }$ of an algebraic number $\alpha $ in terms of its height $h$ and degree $d$. That is applied to show that a certain discrepancy of $\alpha $ is at most $8000h^{1/3}$, which removes an extra term involving $d$ from previous bounds; this cannot be done simply by using a lower bound for $h$ in terms of $d$, even assuming the Lehmer Conjecture. And we give a new estimate for the norm of $1-\alpha $. We also improve existing upper bounds for the height of $\xi $ when $\xi ,1-\xi $ are multiplicatively dependent.

中文翻译：

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Tori 上的伽罗瓦分布——一种改进、示例和应用

在本文中，我们给出了 Bilu 等分布定理的一维形式的改进以及一些例子和应用。其中包括对代数数 $\alpha $ 的所有共轭 $re^{i\theta }$ 的 $e^{i\theta }$ 总和的明确界限，就其高度 $h$ 和度数而言$d$。这用于表明 $\alpha $ 的某个差异最多为 $8000h^{1/3}$，这从先前的界限中删除了涉及 $d$ 的额外项；这不能简单地通过使用以 $d$ 表示的 $h$ 的下限来完成，即使假设 Lehmer 猜想也是如此。我们对 $1-\alpha $ 的范数给出了新的估计。当 $\xi ,1-\xi $ 是乘法依赖时，我们还改进了 $\xi $ 高度的现有上限。