In materials that undergo martensitic phase transformation, distinct elastic phases often form layered microstructures — a phenomenon known as twinning. In some settings the volume fractions of the phases vary macroscopically; this has been seen, in particular, in experiments involving the bending of a bar. We study a two-dimensional (2D) model problem of this type, involving two geometrically nonlinear phases with a single rank-one connection. We adopt a variational perspective, focusing on the minimization of elastic plus surface energy. To get started, we show that twinning with variable volume fraction must occur when bending is imposed by a Dirichlet-type boundary condition. We then turn to paper’s main goal, which is to determine how the minimum energy scales with respect to the surface energy density and the transformation strain. Our analysis combines ansatz-based upper bounds with ansatz-free lower bounds. For the upper bounds we consider two very different candidates for the microstructure: one that involves self-similar refinement of its length scale near the boundary, and another based on piecewise-linear approximation with a single length scale. Our lower bounds adapt methods previously introduced by Chan and Conti to address a problem involving twinning with constant volume fraction. The energy minimization problem considered in this paper is not intended to model twinning with variable volume fraction involving two martensite variants; rather, it provides a convenient starting point for the development of a mathematical toolkit for the study of twinning with variable volume fraction.

在经历马氏体相变的材料中，不同的弹性相通常会形成层状微观结构——这种现象称为孪晶。在某些情况下，相的体积分数在宏观上会发生变化；这在涉及杆弯曲的实验中尤其明显。我们研究了这种类型的二维 (2D) 模型问题，涉及具有单个秩一连接的两个几何非线性相位。我们采用变分的观点，专注于弹性和表面能的最小化。首先，我们表明当 Dirichlet 型边界条件施加弯曲时，必须发生具有可变体积分数的孪晶。然后我们转向论文的主要目标，即确定最小能量如何相对于表面能密度和转变应变进行缩放。我们的分析结合了基于 ansatz 的上限和无 ansatz 的下限。对于上界，我们考虑了两种非常不同的微观结构候选者：一种涉及在边界附近对其长度尺度进行自相似细化，另一种基于具有单个长度尺度的分段线性近似。我们的下界采用了 Chan 和 Conti 先前引入的方法，以解决涉及具有恒定体积分数的孪生的问题。本文考虑的能量最小化问题并非旨在模拟涉及两种马氏体变体的可变体积分数的孪晶；相反，它为开发用于研究具有可变体积分数的孪生的数学工具包提供了一个方便的起点。对于上界，我们考虑了两种非常不同的微观结构候选者：一种涉及在边界附近对其长度尺度进行自相似细化，另一种基于具有单个长度尺度的分段线性近似。我们的下界采用了 Chan 和 Conti 先前引入的方法，以解决涉及具有恒定体积分数的孪生的问题。本文考虑的能量最小化问题并非旨在模拟涉及两种马氏体变体的可变体积分数的孪晶；相反，它为开发用于研究具有可变体积分数的孪生的数学工具包提供了一个方便的起点。对于上界，我们考虑了两种非常不同的微观结构候选者：一种涉及在边界附近对其长度尺度进行自相似细化，另一种基于具有单个长度尺度的分段线性近似。我们的下界采用了 Chan 和 Conti 先前引入的方法，以解决涉及具有恒定体积分数的孪生的问题。本文考虑的能量最小化问题并非旨在模拟涉及两种马氏体变体的可变体积分数的孪晶；相反，它为开发用于研究具有可变体积分数的孪生的数学工具包提供了一个方便的起点。另一个基于具有单个长度尺度的分段线性近似。我们的下界采用了 Chan 和 Conti 先前引入的方法，以解决涉及具有恒定体积分数的孪生的问题。本文考虑的能量最小化问题并非旨在模拟涉及两种马氏体变体的可变体积分数的孪晶；相反，它为开发用于研究具有可变体积分数的孪生的数学工具包提供了一个方便的起点。另一个基于具有单个长度尺度的分段线性近似。我们的下界采用了 Chan 和 Conti 先前引入的方法，以解决涉及具有恒定体积分数的孪生的问题。本文考虑的能量最小化问题并非旨在模拟涉及两种马氏体变体的可变体积分数的孪晶；相反，它为开发用于研究具有可变体积分数的孪生的数学工具包提供了一个方便的起点。本文考虑的能量最小化问题并非旨在模拟涉及两种马氏体变体的可变体积分数的孪晶；相反，它为开发用于研究具有可变体积分数的孪生的数学工具包提供了一个方便的起点。本文考虑的能量最小化问题并非旨在模拟涉及两种马氏体变体的可变体积分数的孪晶；相反，它为开发用于研究具有可变体积分数的孪生的数学工具包提供了一个方便的起点。