<p style='text-indent:20px;'>In this paper, we extend the definition of conditional <inline-formula><tex-math id="M2">\begin{document}$ G{\text{-}}{\rm{expectation}} $\end{document}</tex-math></inline-formula> to a larger space on which the dynamical consistency still holds. We can consistently define, by taking the limit, the conditional <inline-formula><tex-math id="M3">\begin{document}$ G{\text{-}}{\rm{expectation}} $\end{document}</tex-math></inline-formula> for each random variable <inline-formula><tex-math id="M4">\begin{document}$ X $\end{document}</tex-math></inline-formula>, which is the downward limit (respectively, upward limit) of a monotone sequence <inline-formula><tex-math id="M5">\begin{document}$ \{X_{i}\} $\end{document}</tex-math></inline-formula> in <inline-formula><tex-math id="M6">\begin{document}$ L_{G}^{1}(\Omega) $\end{document}</tex-math></inline-formula>. To accomplish this procedure, some careful analysis is needed. Moreover, we present a suitable definition of stopping times and obtain the optional stopping theorem. We also provide some basic and interesting properties for the extended conditional <inline-formula><tex-math id="M7">\begin{document}$ G{\text{-}}{\rm{expectation}} $\end{document}</tex-math></inline-formula>.</p>

中文翻译：

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扩展的条件 G 期望和相关的停止时间

<p style='text-indent:20px;'>本文扩展了条件<inline-formula><tex-math id="M2">\begin{document}$G{\text{- }}{\rm{expectation}} $\end{document}</tex-math></inline-formula> 到更大的空间，动态一致性仍然保持。我们可以通过取限制来一致地定义条件 <inline-formula><tex-math id="M3">\begin{document}$ G{\text{-}}{\rm{expectation}} $\ end{document}</tex-math></inline-formula> 对于每个随机变量 <inline-formula><tex-math id="M4">\begin{document}$ X $\end{document}</ tex-math></inline-formula>，即单调序列的下限（分别为上限）<inline-formula><tex-math id="M5"> \begin{document}$ \{X_{i}\} $\end{document}</tex-math></inline-formula> in <inline-formula><tex-math id="M6">\begin {document}$ L_{G}^{1}(\Omega) $\end{document}</tex-math></inline-formula>。要完成此过程，需要进行一些仔细的分析。此外，我们提出了一个合适的停止时间定义，并获得了可选的停止定理。我们还为扩展条件 <inline-formula><tex-math id="M7">\begin{document}$ G{\text{-}}{\rm{expectation}} $\ 提供了一些基本且有趣的属性结束{document}</tex-math></inline-formula>.</p> /内联公式>。要完成此过程，需要进行一些仔细的分析。此外，我们提出了一个合适的停止时间定义，并获得了可选的停止定理。我们还为扩展条件 <inline-formula><tex-math id="M7">\begin{document}$ G{\text{-}}{\rm{expectation}} $\ 提供了一些基本且有趣的属性结束{document}</tex-math></inline-formula>.</p> /内联公式>。要完成此过程，需要进行一些仔细的分析。此外，我们提出了一个合适的停止时间定义，并获得了可选的停止定理。我们还为扩展条件 <inline-formula><tex-math id="M7">\begin{document}$ G{\text{-}}{\rm{expectation}} $\ 提供了一些基本且有趣的属性结束{document}</tex-math></inline-formula>.</p>