Let $I=I(G)$ be the edge ideal of a simple graph G. We prove that$\mathrm{reg}(I^{(s)})=\mathrm{reg}(I^s)$ for $s=2,3$, where $I^{(s)}$ is the s-th symbolic power of I. As a consequence, we prove the following bounds$\mathrm{reg}{I}^s\le \mathrm{reg}I+2s-2,\text{ for }s=2,3,\mathrm{reg}{I}^{(s)}\le \mathrm{reg}I+2s-2,\text{ for }s=2,3,4.$

中文翻译：

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边理想的小符号幂与普通幂的规律性比较

让$\mathrm{一世}=\mathrm{一世}(G)$是简单图G的理想边。我们证明$\mathrm{注册}({\mathrm{一世}}^{(s)})=\mathrm{注册}({\mathrm{一世}}^s)$为了$s=2,3$， 在哪里${\mathrm{一世}}^{(s)}$是I的第s次符号幂。因此，我们证明了以下界限$\mathrm{注册}{\mathrm{一世}}^s\le \mathrm{注册}\mathrm{一世}+2s-2,\text{ 为了 }s=2,3,\mathrm{注册}{\mathrm{一世}}^{(s)}\le \mathrm{注册}\mathrm{一世}+2s-2,\text{ 为了 }s=2,3,4.$