<p style='text-indent:20px;'>In this article, we are concerned with optimal control for the transverse vibration of a moving string with time-varying lengths. In the fixed final time horizon case, the Pontryagin maximum principle is established for the investigational system with a moving boundary, owing to the Dubovitskii and Milyutin functional analytical approach. A remark then follows for discussing the utilization of obtained necessary optimality condition.</p>

中文翻译：

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随长度变化的动弦横向振动的优化控制

<p style='text-indent:20px;'>在这篇文章中，我们关注的是长度随时间变化的移动弦的横向振动的最优控制。在固定的最终时间范围的情况下，由于 Dubovitskii 和 Milyutin 函数分析方法，为具有移动边界的研究系统建立了 Pontryagin 最大原理。紧接着就得到的必要最优性条件的利用进行了说明。</p>