SIAM Review, Volume 64, Issue 1, Page 59-104, February 2022.
Networks with phase-valued nodal variables are central in modeling several important societal and physical systems, including power grids, biological systems, and coupled oscillator networks. One of the distinctive features of phase-valued networks is the existence of multiple operating conditions corresponding to critical points of an energy function or feasible flows of a balance equation. For networks with phase-valued states it is not yet fully understood how many operating conditions exist, how to characterize them, and how to compute them efficiently. A deeper understanding of feasible operating conditions, including their dependence upon network structures, may lead to more reliable and efficient network systems. This paper introduces flow and elastic network problems on the 𝑛-torus and provides a rigorous and comprehensive framework for their study. Based on a monotonicity assumption, this framework localizes the solutions, bounds their number, and leads to an algorithm to compute them. Our analysis is based on a novel winding partition of the 𝑛-torus into winding cells, induced by Kirchhoff's angle law for undirected graphs. The winding partition has several useful properties, e.g., each winding cell contains at most one solution. The proposed algorithm is based on a novel contraction mapping and is guaranteed to compute all solutions. Finally, we apply our results to study numerically the active power flow equations in several test cases and estimate the power transmission capacity and congestion of a power network.

中文翻译：

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𝑛-Torus 上的流和弹性网络：几何、分析和计算

SIAM 评论，第 64 卷，第 1 期，第 59-104 页，2022 年 2 月。
具有相位值节点变量的网络在建模几个重要的社会和物理系统（包括电网、生物系统和耦合振荡器网络）中至关重要。相值网络的显着特征之一是存在对应于能量函数的临界点或平衡方程的可行流的多个操作条件。对于具有相位值状态的网络，尚不完全了解存在多少操作条件、如何表征它们以及如何有效地计算它们。更深入地了解可行的操作条件，包括它们对网络结构的依赖，可能会导致更可靠和更有效的网络系统。本文介绍了 𝑛-torus 上的流和弹性网络问题，并为其研究提供了一个严谨而全面的框架。基于单调性假设，该框架对解决方案进行本地化，限制它们的数量，并导致一种算法来计算它们。我们的分析是基于一种新颖的将 𝑛 环体划分为绕组单元的绕组分区，这是由基尔霍夫角定律对无向图的诱导得出的。绕组隔板具有几个有用的特性，例如，每个绕组单元最多包含一种溶液。所提出的算法基于一种新颖的收缩映射，并保证计算所有解决方案。最后，我们应用我们的结果对几个测试案例中的有功潮流方程进行数值研究，并估计电力网络的输电容量和拥塞。基于单调性假设，该框架对解决方案进行本地化，限制它们的数量，并导致一种算法来计算它们。我们的分析是基于一种新颖的将 𝑛 环体划分为绕组单元的绕组分区，这是由基尔霍夫角定律对无向图的诱导得出的。绕组隔板具有几个有用的特性，例如，每个绕组单元最多包含一种溶液。所提出的算法基于一种新颖的收缩映射，并保证计算所有解决方案。最后，我们应用我们的结果对几个测试案例中的有功潮流方程进行数值研究，并估计电力网络的输电容量和拥塞。基于单调性假设，该框架对解决方案进行本地化，限制它们的数量，并导致一种算法来计算它们。我们的分析是基于一种新颖的将 𝑛 环体划分为绕组单元的绕组分区，这是由基尔霍夫角定律对无向图的诱导得出的。绕组隔板具有几个有用的特性，例如，每个绕组单元最多包含一种溶液。所提出的算法基于一种新颖的收缩映射，并保证计算所有解决方案。最后，我们应用我们的结果对几个测试案例中的有功潮流方程进行数值研究，并估计电力网络的输电容量和拥塞。我们的分析是基于一种新颖的将 𝑛 环体划分为绕组单元的绕组分区，这是由基尔霍夫角定律对无向图的诱导得出的。绕组隔板具有几个有用的特性，例如，每个绕组单元最多包含一种溶液。所提出的算法基于一种新颖的收缩映射，并保证计算所有解决方案。最后，我们应用我们的结果对几个测试案例中的有功潮流方程进行数值研究，并估计电力网络的输电容量和拥塞。我们的分析是基于一种新颖的将 𝑛 环体划分为绕组单元的绕组分区，这是由基尔霍夫角定律对无向图的诱导得出的。绕组隔板具有几个有用的特性，例如，每个绕组单元最多包含一种溶液。所提出的算法基于一种新颖的收缩映射，并保证计算所有解决方案。最后，我们应用我们的结果对几个测试案例中的有功潮流方程进行数值研究，并估计电力网络的输电容量和拥塞。