In [SWW16, HW17] it is shown that the difference of the first two eigenvalues of the Laplacian with Dirichlet boundary condition on convex domain with diameter $D$ of sphere $\mathbb{S}^n$ is $\geq 3 \frac{\pi^2}{D^2}$ when $n \geq 3$. We prove the same result when $n = 2$. In fact our proof works for all dimension. We also give an asymptotic expansion of the first and second Dirichlet eigenvalues of the model in [SWW16].

中文翻译：

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球面上凸域的基本间隙估计 - 情况 $n=2$

在[ SWW16 , HW17 ]中表明，在球面$\mathbb{S}^n$的直径为$D$的凸域上，具有狄利克雷边界条件的拉普拉斯算子的前两个特征值的差为$\geq 3 \frac {\pi^2}{D^2}$ 当 $n \geq 3$。当 $n = 2$ 时，我们证明了相同的结果。事实上，我们的证明适用于所有维度。我们还在 [ SWW16 ] 中给出了模型的第一和第二狄利克雷特征值的渐近展开。