We prove that the number of directions contained in a set of the form A × B ⊂ AG(2,p), where p is prime, is at least |A||B| − min{|A|, |B|} + 2. Here A and B are subsets of GF(p) each with at least two elements and |A||B| <p. This bound is tight for an infinite class of examples. Our main tool is the use of the Rédei polynomial with Szőnyi’s extension. As an application of our main result, we obtain an upper bound on the clique number of a Paley graph, matching the current best bound obtained recently by Hanson and Petridis.

中文翻译：

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关于仿射伽罗瓦平面中笛卡尔积确定的方向

我们证明了包含在A × B ⊂ AG (2, p )形式的集合中的方向数，其中p是素数，至少是 | 一个|| 乙| − 分钟{| 一个|, | B |} + 2. 这里A和B是GF ( p ) 的子集，每个子集至少有两个元素和 | 一个|| 乙| < p. 对于无限类的例子，这个界限很紧。我们的主要工具是使用带有 Szőnyi 扩展的 Rédei 多项式。作为我们主要结果的应用，我们获得了 Paley 图的团数的上限，与 Hanson 和 Petridis 最近获得的当前最佳边界相匹配。