Quantum algorithms for solving the Quantum Linear System (QLS) problem are among the most investigated quantum algorithms of recent times, with potential applications including the solution of computationally intractable differential equations and speed-ups in machine learning. A fundamental parameter governing the efficiency of QLS solvers is $\kappa$, the condition number of the coefficient matrix $A$, as it has been known since the inception of the QLS problem that for worst-case instances the runtime scales at least linearly in $\kappa$ [Harrow, Hassidim and Lloyd, PRL 103, 150502 (2009)]. However, for the case of positive-definite matrices classical algorithms can solve linear systems with a runtime scaling as $\sqrt{\kappa}$, a quadratic improvement compared to the the indefinite case. It is then natural to ask whether QLS solvers may hold an analogous improvement. In this work we answer the question in the negative, showing that solving a QLS entails a runtime linear in $\kappa$ also when $A$ is positive definite. We then identify broad classes of positive-definite QLS where this lower bound can be circumvented and present two new quantum algorithms featuring a quadratic speed-up in $\kappa$: the first is based on efficiently implementing a matrix-block-encoding of $A^{-1}$, the second constructs a decomposition of the form $A = L L^\dagger$ to precondition the system. These methods are widely applicable and both allow to efficiently solve BQP-complete problems.

中文翻译：

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在条件数下求解具有二次改进运行时间的正定量子线性系统的类

用于解决量子线性系统 (QLS) 问题的量子算法是近期研究最多的量子算法之一，其潜在应用包括求解难以计算的微分方程和机器学习的加速。控制 QLS 求解器效率的一个基本参数是 $\kappa$，系数矩阵 $A$ 的条件数，正如自 QLS 问题出现以来就知道，对于最坏的情况，运行时间至少线性扩展在 $\kappa$ [Harrow, Hassidim and Lloyd, PRL 103, 150502 (2009)]。然而，对于正定矩阵的情况，经典算法可以求解线性系统，运行时标度为 $\sqrt{\kappa}$，与不定情况相比，这是二次改进。那么很自然地会问 QLS 求解器是否可以进行类似的改进。在这项工作中，我们回答了否定的问题，表明当 $A$ 为正定时，求解 QLS 也需要在 $\kappa$ 中线性运行。然后，我们确定了可以绕过这个下界的广泛的正定 QLS 类别，并提出了两种新的量子算法，其特点是 $\kappa$ 中的二次加速：第一个基于有效实现 $\kappa$ 的矩阵块编码A^{-1}$，第二个构造了 $A = LL^\dagger$ 形式的分解来对系统进行预处理。这些方法具有广泛的适用性，并且都可以有效地解决 BQP 完全问题。表明当 $A$ 为正定时，求解 QLS 也需要在 $\kappa$ 中线性运行。然后，我们确定了可以绕过这个下界的广泛的正定 QLS 类别，并提出了两种新的量子算法，其特点是 $\kappa$ 中的二次加速：第一个基于有效地实现 $\kappa$ 的矩阵块编码A^{-1}$，第二个构造了 $A = LL^\dagger$ 形式的分解来对系统进行预处理。这些方法具有广泛的适用性，并且都可以有效地解决 BQP 完全问题。表明当 $A$ 为正定时，求解 QLS 也需要在 $\kappa$ 中线性运行。然后，我们确定了可以绕过这个下界的广泛的正定 QLS 类别，并提出了两种新的量子算法，其特点是 $\kappa$ 中的二次加速：第一个基于有效地实现 $\kappa$ 的矩阵块编码A^{-1}$，第二个构造了 $A = LL^\dagger$ 形式的分解来对系统进行预处理。这些方法具有广泛的适用性，并且都可以有效地解决 BQP 完全问题。第二个构造 $A = LL^\dagger$ 形式的分解来预处理系统。这些方法具有广泛的适用性，并且都可以有效地解决 BQP 完全问题。第二个构造 $A = LL^\dagger$ 形式的分解来预处理系统。这些方法具有广泛的适用性，并且都可以有效地解决 BQP 完全问题。