We propose an extension of the Schwinger parametric representation for Feynman amplitudes in $D$ euclidean dimensions to a scenario where $d$ dimensions are compactified ($d<D$) through the introduction of periodic boundary conditions in space. We obtain two valid representations, one useful near the bulk (large compactification length) and another useful near the dimensional reduction (small compactification length). Also, to illustrate, we exhibit some Feynman amplitudes up to three loops in a compactified scalar field theory.

中文翻译：

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周期性紧实空间中的费曼振幅：自旋 0

我们提出了费曼振幅的施温格参数表示的扩展 $D$ 场景的欧几里德维数 $d$ 尺寸被压缩（$d<D$) 通过在空间中引入周期性边界条件。我们获得了两种有效的表示，一种在体积附近有用（大压缩长度），另一种在降维附近有用（小压缩长度）。此外，为了说明，我们在紧缩标量场理论中展示了一些高达三个环的费曼振幅。