The Shapley value is a well-known solution concept for TU games. The Maschler–Owen value and the NTU Shapley value are two well-known extensions of the Shapley value to NTU games. A hyperplane game is an NTU game in which the feasible set for each coalition is a hyperplane. On the domain of monotonic hyperplane games, the Maschler–Owen value is axiomatized (Hart Essays in game theory. Springer, 1994). Although the domain of hyperplane game is a very interesting class of games to study, unfortunately, on this domain, the NTU Shapley value is not well-defined, namely, it assigns an empty set to some hyperplane games. A prize game (Hart Essays in game theory. Springer, 1994) is an NTU game that can be obtained by “truncating” a hyperplane game. As such, a prize game describes essentially the same situation as the corresponding hyperplane game. It turns out that, on the domain of monotonic prize games, the NTU Shapley value is well-defined. Thus, one can define a value which is well-defined on the domain of monotonic hyperplane games as follows: given a monotonic hyperplane game, first, transform it into a prize game, and then apply the NTU Shapley value to it. We refer to the resulting value as the “generalized Shapley value” and compare the axiomatic properties of it with those of the Maschler–Owen value on the union of the class of monotonic hyperplane games and that of monotonic prize games. We also provide axiomatizations of the Maschler–Owen value and the generalized Shapley value on that domain.

Shapley 值是 TU 游戏的著名解决方案概念。Maschler-Owen 值和 NTU Shapley 值是 Shapley 值对 NTU 游戏的两个众所周知的扩展。超平面博弈是一个 NTU 博弈，其中每个联盟的可行集是一个超平面。在单调超平面博弈领域，Maschler-Owen 值是公理化的（Hart Essays in game theory. Springer, 1994）。虽然超平面博弈领域是一类非常有趣的博弈研究，但不幸的是，在这个领域，NTU Shapley 值并没有明确定义，即它为一些超平面博弈分配了一个空集。有奖游戏（Hart Essays in game theory. Springer, 1994）是一种可以通过“截断”超平面游戏获得的 NTU 游戏。因此，奖品游戏描述的情况与相应的超平面游戏基本相同。事实证明，在单调奖品游戏领域，NTU Shapley 值是明确定义的。因此，我们可以定义一个在单调超平面游戏领域中明确定义的值，如下所示：给定一个单调超平面游戏，首先将其转换为奖品游戏，然后对其应用 NTU Shapley 值。我们将结果值称为“广义 Shapley 值”，并将其公理性质与 Maschler-Owen 值在单调超平面游戏类和单调奖品游戏类的联合上的公理性质进行比较。我们还提供了该域上的 Maschler-Owen 值和广义 Shapley 值的公理化。可以定义一个在单调超平面游戏领域中明确定义的值，如下所示：给定一个单调超平面游戏，首先将其转换为奖品游戏，然后对其应用 NTU Shapley 值。我们将结果值称为“广义 Shapley 值”，并将其公理性质与 Maschler-Owen 值在单调超平面游戏类和单调奖品游戏类的联合上的公理性质进行比较。我们还提供了该域上的 Maschler-Owen 值和广义 Shapley 值的公理化。可以定义一个在单调超平面游戏领域中明确定义的值，如下所示：给定一个单调超平面游戏，首先将其转换为奖品游戏，然后对其应用 NTU Shapley 值。我们将结果值称为“广义 Shapley 值”，并将其公理性质与 Maschler-Owen 值在单调超平面游戏类和单调奖品游戏类的联合上的公理性质进行比较。我们还提供了该域上的 Maschler-Owen 值和广义 Shapley 值的公理化。我们将结果值称为“广义 Shapley 值”，并将其公理性质与 Maschler-Owen 值在单调超平面游戏类和单调奖品游戏类的并集上的公理性质进行比较。我们还提供了该域上的 Maschler-Owen 值和广义 Shapley 值的公理化。我们将结果值称为“广义 Shapley 值”，并将其公理性质与 Maschler-Owen 值在单调超平面游戏类和单调奖品游戏类的联合上的公理性质进行比较。我们还提供了该域上的 Maschler-Owen 值和广义 Shapley 值的公理化。