We present a compact Baker–Campbell–Hausdorff–Dynkin formula for the composition of Lorentz transformations eσi in the spin representation (a.k.a. Lorentz rotors) in terms of their generators σi: ln(eσ1eσ2) =tanh−1 tanh σ1 +tanh σ2 + 1 2[tanh σ1,tanh σ2] 1 + 1 2{tanh σ1,tanh σ2}. This formula is general to geometric algebras (a.k.a. real Clifford algebras) of dimension ≤ 4, naturally generalizing Rodrigues’ formula for rotations in ℝ 3. In particular, it applies to Lorentz rotors within the framework of Hestenes’ spacetime algebra, and provides an efficient method for composing Lorentz generators. Computer implementations are possible with a complex 2 × 2 matrix representation realized by the Pauli spin matrices. The formula is applied to the composition of relativistic 3-velocities yielding simple expressions for the resulting boost and the concomitant Wigner angle.

中文翻译：

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基于几何代数的时空显式贝克-坎贝尔-豪斯多夫-戴金公式

我们提出了一个紧凑的 Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin 公式，用于洛伦兹变换的组成eσ一世在自旋表示（又名洛伦兹转子）的发电机方面σ一世： ln(eσ1eσ2) =谭-1 谭 σ1 +谭 σ2 + 1 2[谭 σ1,谭 σ2] 1 + 1 2{谭 σ1,谭 σ2}. 这个公式对于几何代数是通用的 (又名实数克利福德代数）的维数 ≤ 4, 自然地推广 Rodrigues 的旋转公式ℝ 3. 特别是，它适用于 Hestenes 时空代数框架内的洛伦兹转子，并为构成洛伦兹发电机提供了一种有效的方法。复杂的计算机实现是可能的2 × 2由泡利自旋矩阵实现的矩阵表示。该公式应用于相对论的组成3-速度产生的推力和伴随的维格纳角的简单表达式。