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Combinatorial aspects of the Löwenstein avoidance rule. Part I: the independence polynomial
Acta Crystallographica Section A: Foundations and Advances ( IF 1.9 ) Pub Date : 2021-09-24 , DOI: 10.1107/s2053273321007956 Montauban Moreira de Oliveira 1 , Jean Guillaume Eon 2
Acta Crystallographica Section A: Foundations and Advances ( IF 1.9 ) Pub Date : 2021-09-24 , DOI: 10.1107/s2053273321007956 Montauban Moreira de Oliveira 1 , Jean Guillaume Eon 2
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According to Löwenstein's rule, Al–O–Al bridges are forbidden in the aluminosilicate framework of zeolites. A graph-theoretical interpretation of the rule, based on the concept of independent sets, was proposed earlier. It was shown that one can apply the vector method to the associated periodic net and define a maximal Al/(Al+Si) ratio for any aluminosilicate framework following the rule; this ratio was called the independence ratio of the net. According to this method, the determination of the independence ratio of a periodic net requires finding a subgroup of the translation group of the net for which the quotient graph and a fundamental transversal have the same independence ratio. This article and a companion paper deal with practical issues regarding the calculation of the independence ratio of mainly 2-periodic nets and the determination of site distributions realizing this ratio. The first paper describes a calculation technique based on propositional calculus and introduces a multivariate polynomial, called the independence polynomial. This polynomial can be calculated in an automatic way and provides the list of all maximal independent sets of the graph, hence also the value of its independence ratio. Some properties of this polynomial are discussed; the independence polynomials of some simple graphs, such as short paths or cycles, are determined as examples of calculation techniques. The method is also applied to the determination of the independence ratio of the 2-periodic net dhc.
中文翻译：
Löwenstein 回避规则的组合方面。第一部分：独立多项式
根据洛文斯坦定律，沸石的铝硅酸盐骨架中禁止出现 Al-O-Al 桥。早先提出了基于独立集概念的规则的图论解释。结果表明，可以将矢量方法应用于相关的周期性网络，并根据该规则为任何硅铝酸盐框架定义最大的 Al/(Al+Si) 比率；这个比率被称为网络的独立比率。根据这种方法，确定周期网络的独立比需要找到商图和基本横断面具有相同独立比的网络的平移群的一个子群。这篇文章和一篇配套论文讨论了有关计算主要 2 周期网络的独立比率和确定实现该比率的站点分布的实际问题。第一篇论文描述了一种基于命题演算的计算技术，并介绍了一种称为独立多项式的多元多项式。该多项式可以自动计算，并提供图形的所有最大独立集的列表，因此也提供其独立比率的值。讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立比 第一篇论文描述了一种基于命题演算的计算技术，并介绍了一种称为独立多项式的多元多项式。该多项式可以自动计算，并提供图形的所有最大独立集的列表，因此也提供其独立比率的值。讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比 第一篇论文描述了一种基于命题演算的计算技术，并介绍了一种称为独立多项式的多元多项式。该多项式可以自动计算，并提供图形的所有最大独立集的列表，因此也提供其独立比率的值。讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比 讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比 讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比dhc .
更新日期：2021-11-03
中文翻译：
Löwenstein 回避规则的组合方面。第一部分：独立多项式
根据洛文斯坦定律，沸石的铝硅酸盐骨架中禁止出现 Al-O-Al 桥。早先提出了基于独立集概念的规则的图论解释。结果表明，可以将矢量方法应用于相关的周期性网络，并根据该规则为任何硅铝酸盐框架定义最大的 Al/(Al+Si) 比率；这个比率被称为网络的独立比率。根据这种方法，确定周期网络的独立比需要找到商图和基本横断面具有相同独立比的网络的平移群的一个子群。这篇文章和一篇配套论文讨论了有关计算主要 2 周期网络的独立比率和确定实现该比率的站点分布的实际问题。第一篇论文描述了一种基于命题演算的计算技术，并介绍了一种称为独立多项式的多元多项式。该多项式可以自动计算，并提供图形的所有最大独立集的列表，因此也提供其独立比率的值。讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立比 第一篇论文描述了一种基于命题演算的计算技术，并介绍了一种称为独立多项式的多元多项式。该多项式可以自动计算，并提供图形的所有最大独立集的列表，因此也提供其独立比率的值。讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比 第一篇论文描述了一种基于命题演算的计算技术，并介绍了一种称为独立多项式的多元多项式。该多项式可以自动计算，并提供图形的所有最大独立集的列表，因此也提供其独立比率的值。讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比 讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比 讨论了这个多项式的一些性质；一些简单图形的独立多项式，例如短路径或循环，被确定为计算技术的例子。该方法也适用于确定2-周期网的独立性比dhc .
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