SIAM Journal on Scientific Computing, Volume 43, Issue 5, Page A3269-A3304, January 2021.
An $n$-cross field is a locally defined orthogonal coordinate system invariant with respect to the hyperoctahedral symmetry group (cubic for $n=3$). Cross fields are finding wide-spread use in mesh generation, computer graphics, and materials science among many applications. It was recently shown in [A. Chemin et al., International Meshing Roundtable, 2019, pp. 89--108] that 3-cross fields can be embedded into the set of symmetric fourth-order tensors. The concurrent work [D. Palmer, D. Bommes, and J. Solomon, Algebraic Representations for Volumetric Frame Fields, preprint, arXiv:1908.05411 (2019)] further develops a relaxation of this tensor field via a certain set of varieties. In this paper, we consider the problem of generating an arbitrary $n$-cross field using a fourth-order $Q$-tensor theory that is constructed out of tensored projection matrices. We establish that by a Ginzburg--Landau relaxation towards a global projection, one can reliably generate an $n$-cross field on arbitrary Lipschitz domains. Our work provides a rigorous approach that offers several new results including porting the tensor framework to arbitrary dimensions, providing a new relaxation method that embeds the problem into a global steepest descent, and offering a relaxation scheme for aligning the cross field with the boundary. Our approach is designed to fit within the classical Ginzburg--Landau PDE theory, offering a concrete road map for the future careful study of singularities of energy minimizers.

中文翻译：

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使用高阶$Q$-张量生成$n$-交叉域的变分方法

SIAM 科学计算杂志，第 43 卷，第 5 期，第 A3269-A3304 页，2021 年 1 月。
$n$-cross 域是局部定义的正交坐标系，相对于超八面体对称群（$n=3$ 的三次方）不变。交叉领域在网格生成、计算机图形学和材料科学的许多应用中得到了广泛的应用。它最近在[A. Chemin et al., International Meshing Roundtable, 2019, pp. 89--108] 3-cross 场可以嵌入到对称四阶张量集合中。并发工作[D. Palmer, D. Bommes 和 J. Solomon, Algebraic Representations for Volumetric Frame Fields, preprint, arXiv:1908.05411 (2019)] 通过一组特定的变体进一步发展了这个张量场的松弛。在本文中，我们考虑使用由张量投影矩阵构建的四阶 $Q$-张量理论生成任意 $n$-cross 场的问题。我们确定，通过朝向全局投影的 Ginzburg-Landau 松弛，可以在任意 Lipschitz 域上可靠地生成 $n$-cross 场。我们的工作提供了一种严格的方法，该方法提供了几个新结果，包括将张量框架移植到任意维度，提供一种新的松弛方法，将问题嵌入到全局最陡下降中，并提供一种松弛方案，用于将交叉场与边界对齐。我们的方法旨在适应经典的 Ginzburg--Landau PDE 理论，为未来仔细研究能量最小化器的奇点提供了具体的路线图。我们确定，通过朝向全局投影的 Ginzburg-Landau 松弛，可以在任意 Lipschitz 域上可靠地生成 $n$-cross 场。我们的工作提供了一种严格的方法，该方法提供了几个新结果，包括将张量框架移植到任意维度，提供一种新的松弛方法，将问题嵌入到全局最速下降中，并提供一种松弛方案，用于将交叉场与边界对齐。我们的方法旨在适应经典的 Ginzburg--Landau PDE 理论，为未来仔细研究能量最小化器的奇点提供了具体的路线图。我们确定，通过朝向全局投影的 Ginzburg-Landau 松弛，可以在任意 Lipschitz 域上可靠地生成 $n$-cross 场。我们的工作提供了一种严格的方法，该方法提供了几个新结果，包括将张量框架移植到任意维度，提供一种新的松弛方法，将问题嵌入到全局最陡下降中，并提供一种松弛方案，用于将交叉场与边界对齐。我们的方法旨在适应经典的 Ginzburg--Landau PDE 理论，为未来仔细研究能量最小化器的奇点提供了具体的路线图。我们的工作提供了一种严格的方法，该方法提供了几个新结果，包括将张量框架移植到任意维度，提供一种新的松弛方法，将问题嵌入到全局最陡下降中，并提供一种松弛方案，用于将交叉场与边界对齐。我们的方法旨在适应经典的 Ginzburg--Landau PDE 理论，为未来仔细研究能量最小化器的奇点提供了具体的路线图。我们的工作提供了一种严格的方法，该方法提供了几个新结果，包括将张量框架移植到任意维度，提供一种新的松弛方法，将问题嵌入到全局最陡下降中，并提供一种松弛方案，用于将交叉场与边界对齐。我们的方法旨在适应经典的 Ginzburg--Landau PDE 理论，为未来仔细研究能量最小化器的奇点提供了具体的路线图。