Abstract:An $\operatorname {FI}$- or an $\operatorname {OI}$-module $\mathbf {M}$ over a corresponding noetherian polynomial algebra $\mathbf {P}$ may be thought of as a sequence of compatible modules $\mathbf {M}_n$ over a polynomial ring $\mathbf {P}_n$ whose number of variables depends linearly on $n$. In order to study invariants of the modules $\mathbf {M}_n$ in dependence of $n$, an equivariant Hilbert series is introduced if $\mathbf {M}$ is graded. If $\mathbf {M}$ is also finitely generated, it is shown that this series is a rational function. Moreover, if this function is written in reduced form rather precise information about the irreducible factors of the denominator is obtained. This is key for applications. It follows that the Krull dimension of the modules $\mathbf {M}_n$ grows eventually linearly in $n$, whereas the multiplicity of $\mathbf {M}_n$ grows eventually exponentially in $n$. Moreover, for any fixed degree $j$, the vector space dimensions of the degree $j$ components of $\mathbf {M}_n$ grow eventually polynomially in $n$. As a consequence, any graded Betti number of $\mathbf {M}_n$ in a fixed homological degree and a fixed internal degree grows eventually polynomially in $n$. Furthermore, evidence is obtained to support a conjecture that the Castelnuovo-Mumford regularity and the projective dimension of $\mathbf {M}_n$ both grow eventually linearly in $n$. It is also shown that modules $\mathbf {M}$ whose width $n$ components $\mathbf {M}_n$ are eventually Artinian can be characterized by their equivariant Hilbert series. Using regular languages and finite automata, an algorithm for computing equivariant Hilbert series is presented.

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中文翻译：

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等变希尔伯特级数的合理性和渐近性质

摘要：在相应的诺特多项式代数 $\mathbf {P}$ 上的 $\operatorname {FI}$- 或 $\operatorname {OI}$-module $\mathbf {M}$ 可以被认为是一个序列多项式环 $\mathbf {P}_n$ 上的兼容模块 $\mathbf {M}_n$，其变量数量线性依赖于 $n$。为了研究模块 $\mathbf {M}_n$ 依赖于 $n$ 的不变量，如果对 $\mathbf {M}$ 进行分级，则引入等变希尔伯特级数。如果 $\mathbf {M}$ 也是有限生成的，则证明该级数是有理函数。此外，如果将这个函数写成简化形式，则可以获得关于分母的不可约因子的相当精确的信息。这是应用程序的关键。因此，模块 $\mathbf {M}_n$ 的 Krull 维最终在 $n$ 中线性增长，而 $\mathbf {M}_n$ 的多样性最终在 $n$ 中呈指数增长。此外，对于任何固定的阶数 $j$，$\mathbf {M}_n$ 的阶数 $j$ 分量的向量空间维度最终在 $n$ 中以多项式增长。因此，在固定同调度和固定内部度中 $\mathbf {M}_n$ 的任何分级 Betti 数最终在 $n$ 中以多项式增长。此外，获得了证据来支持 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长的猜想。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。对于任何固定的度数 $j$，$\mathbf {M}_n$ 的度数 $j$ 分量的向量空间维度最终以多项式的方式增长为 $n$。因此，在固定同调度和固定内部度中 $\mathbf {M}_n$ 的任何分级 Betti 数最终在 $n$ 中以多项式增长。此外，获得了证据来支持 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长的猜想。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。对于任何固定的度数 $j$，$\mathbf {M}_n$ 的度数 $j$ 分量的向量空间维度最终以多项式的方式增长为 $n$。因此，在固定同调度和固定内部度中 $\mathbf {M}_n$ 的任何分级 Betti 数最终在 $n$ 中以多项式增长。此外，获得了证据来支持 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长的猜想。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。$\mathbf {M}_n$ 的次数$j$ 分量的向量空间维度最终在$n$ 中以多项式增长。因此，在固定同调度和固定内部度中 $\mathbf {M}_n$ 的任何分级 Betti 数最终在 $n$ 中以多项式增长。此外，获得了证据来支持 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长的猜想。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。$\mathbf {M}_n$ 的次数$j$ 分量的向量空间维度最终在$n$ 中以多项式增长。因此，在固定同调度和固定内部度中 $\mathbf {M}_n$ 的任何分级 Betti 数最终在 $n$ 中以多项式增长。此外，获得了证据来支持 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长的猜想。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。$\mathbf {M}_n$ 在固定同调度和固定内部度中的任何分级 Betti 数最终在 $n$ 中以多项式增长。此外，获得了证据来支持 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长的猜想。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。$\mathbf {M}_n$ 在固定同调度和固定内部度中的任何分级 Betti 数最终在 $n$ 中以多项式增长。此外，获得了证据来支持 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长的猜想。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。获得的证据支持一个猜想，即 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。获得的证据支持一个猜想，即 Castelnuovo-Mumford 正则性和 $\mathbf {M}_n$ 的投影维度最终都以 $n$ 线性增长。还表明，模块 $\mathbf {M}$ 的宽度 $n$ 分量 $\mathbf {M}_n$ 最终是 Artinian 可以用它们的等变希尔伯特级数来表征。使用正则语言和有限自动机，提出了一种计算等变希尔伯特级数的算法。

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