Abstract:In this article, we try to give an answer to the simple question: “What is the optimal growth rate of the dimension $p$ as a function of the sample size $n$ for which the Central Limit Theorem (CLT) holds uniformly over the collection of $p$-dimensional hyper-rectangles ?”. Specifically, we are interested in the normal approximation of suitably scaled versions of the sum $\sum _{i=1}^{n}X_i$ in $\mathcal {R}^p$ uniformly over the class of hyper-rectangles $\mathcal {A}^{re}=\{\prod _{j=1}^{p}[a_j,b_j]\cap \mathcal {R}:-\infty \leq a_j\leq b_j \leq \infty , j=1,\ldots ,p\}$, where $X_1,\dots ,X_n$ are independent $p-$dimensional random vectors with each having independent and identically distributed (iid) components. We investigate the optimal cut-off rate of $\log p$ below which the uniform CLT holds and above which it fails. According to some recent results of Chernozukov et al. [Ann. Probab. 45 (2017), pp. 2309–2352], it is well known that the CLT holds uniformly over $\mathcal {A}^{re}$ if $\log p=o\big (n^{1/7}\big )$. They also conjectured that for CLT to hold uniformly over $\mathcal {A}^{re}$, the optimal rate is $\log p = o\big (n^{1/3}\big )$. We show instead that under some suitable conditions on the even moments and under vanishing odd moments, the CLT holds uniformly over $\mathcal {A}^{re}$, when $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$. More precisely, we show that if $\log p =\epsilon \sqrt {n}$ for some sufficiently small $\epsilon >0$, the normal approximation is valid with an error $\epsilon$, uniformly over $\mathcal {A}^{re}$. Further, we show by an example that the uniform CLT over $\mathcal {A}^{re}$ fails if $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \log p >0$ for some $\delta >0$. Therefore, with some moment conditions the optimal rate of the growth of $p$ for the validity of the CLT is given by $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$.

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中文翻译：

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高维中心极限定理：维增长率的最优边界

摘要：在本文中，我们尝试回答一个简单的问题：“作为样本大小 $n$ 的函数的维度 $p$ 的最佳增长率是多少，其中中心极限定理 (CLT) 成立统一在 $p$ 维超矩形的集合上？”. 具体来说，我们感兴趣的是在 $\mathcal {R}^p$ 中的和 $\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的适当缩放版本的正态近似值在超矩形类上一致\mathcal {A}^{re}=\{\prod _{j=1}^{p}[a_j,b_j]\cap \mathcal {R}:-\infty \leq a_j\leq b_j \leq \infty , j=1,\ldots ,p\}$，其中 $X_1,\dots ,X_n$ 是独立的 $p-$ 维随机向量，每个向量具有独立且同分布的 (iid) 分量。我们研究了 $\log p$ 的最佳截止率，低于该比率统一 CLT 保持不变，高于该比率则失败。根据 Chernozukov 等人最近的一些结果。[安. 可能。45 (2017), pp. 2309–2352]，众所周知，如果 $\log p=o\big (n^{1/7} \大)$。他们还推测，对于 CLT 在 $\mathcal {A}^{re}$ 上一致成立，最佳比率是 $\log p = o\big (n^{1/3}\big )$。相反，我们表明，在偶数时刻和消失奇数时刻的一些合适条件下，CLT 一致地保持在 $\mathcal {A}^{re}$ 上，当 $\log p=o\big (n^{1/ 2}\大)$。更准确地说，我们表明，如果 $\log p =\epsilon \sqrt {n}$ 对于一些足够小的 $\epsilon >0$，正态近似是有效的，误差 $\epsilon$，均匀地超过 $\mathcal { A}^{re}$。此外，我们通过一个例子表明，如果 $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \对于某些 $\delta >0$ 记录 p >0$。因此，在某些时刻条件下，用于 CLT 有效性的 $p$ 增长的最佳速率由 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$ 给出。相反，我们表明，在偶数时刻和消失奇数时刻的一些合适条件下，CLT 一致地保持在 $\mathcal {A}^{re}$ 上，当 $\log p=o\big (n^{1/ 2}\大)$。更准确地说，我们表明，如果 $\log p =\epsilon \sqrt {n}$ 对于一些足够小的 $\epsilon >0$，正态近似是有效的，误差 $\epsilon$，均匀地超过 $\mathcal { A}^{re}$。此外，我们通过一个例子表明，如果 $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \对于某些 $\delta >0$ 记录 p >0$。因此，在某些时刻条件下，用于 CLT 有效性的 $p$ 增长的最佳速率由 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$ 给出。相反，我们表明，在偶数时刻和消失奇数时刻的一些合适条件下，CLT 一致地保持在 $\mathcal {A}^{re}$ 上，当 $\log p=o\big (n^{1/ 2}\大)$。更准确地说，我们表明，如果 $\log p =\epsilon \sqrt {n}$ 对于一些足够小的 $\epsilon >0$，正态近似是有效的，误差 $\epsilon$，均匀地超过 $\mathcal { A}^{re}$。此外，我们通过一个例子表明，如果 $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \对于某些 $\delta >0$ 记录 p >0$。因此，在某些时刻条件下，用于 CLT 有效性的 $p$ 增长的最佳速率由 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$ 给出。当 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$。更准确地说，我们表明，如果 $\log p =\epsilon \sqrt {n}$ 对于一些足够小的 $\epsilon >0$，正态近似是有效的，误差 $\epsilon$，均匀地超过 $\mathcal { A}^{re}$。此外，我们通过一个例子表明，如果 $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \对于某些 $\delta >0$ 记录 p >0$。因此，在某些时刻条件下，用于 CLT 有效性的 $p$ 增长的最佳速率由 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$ 给出。当 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$。更准确地说，我们表明，如果 $\log p =\epsilon \sqrt {n}$ 对于一些足够小的 $\epsilon >0$，正态近似是有效的，误差 $\epsilon$，均匀地超过 $\mathcal { A}^{re}$。此外，我们通过一个例子表明，如果 $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \对于某些 $\delta >0$ 记录 p >0$。因此，在某些时刻条件下，用于 CLT 有效性的 $p$ 增长的最佳速率由 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$ 给出。我们通过一个例子表明，如果 $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \log p 在 $\mathcal {A}^{re}$ 上的统一 CLT 失败>0$ 对于某些 $\delta >0$。因此，在某些时刻条件下，用于 CLT 有效性的 $p$ 增长的最佳速率由 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$ 给出。我们通过一个例子表明，如果 $\limsup _{ n\rightarrow \infty } n^{-(1/2+\delta )} \log p 在 $\mathcal {A}^{re}$ 上的统一 CLT 失败>0$ 对于某些 $\delta >0$。因此，在某些时刻条件下，CLT 有效性的 $p$ 增长的最佳速率由 $\log p=o\big (n^{1/2}\big )$ 给出。

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