Binary evolution is influenced by dynamical scattering with other stars in dense environments. Heggie’s law states that, due to their environments, hard binaries (whose orbital energy surpasses the typical energy of single stars) tend to harden (increase their orbital energy), while soft binaries typically soften. Here, we show that Heggie’s law sometimes needs to be revised, by accounting for an external potential, for example, for binaries in nuclear stellar discs or active galactic nucleus discs, that are affected by the central massive black hole, or binary planetesimals in protoplanetary discs, affected by the host star. We find that in such environments, where the Hill radius is finite, binary-single scattering can have different outcomes. In particular, a three-body encounter could be cut short due to stars being ejected beyond the Hill radius, thereby ceasing to participate in further close interactions. This leads to a systematic difference in the energy changes brought about by the encounter, and in particular slows binary hardening, and even causes some hard binaries to soften, on average, rather than harden. We use our previously derived analytical, statistical solution to the bound chaotic three-body problem to quantitatively characterise the revision of the hardening-softening phase transition and evolution of binaries. We also provide an analytical calculation of the mean hardening rate of binaries in any environment (also reproducing the results of detailed N-body simulations). We show that the latter exhibits a non-trivial dependence on the Hill radius induced by the environment.

中文翻译：

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双星比看起来更柔软：外部势能对双星散射动力学的影响

双星演化受到密集环境中其他恒星的动态散射的影响。Heggie 定律指出，由于它们所处的环境，硬双星（其轨道能量超过单星的典型能量）倾向于变硬（增加它们的轨道能量），而软双星通常会软化。在这里，我们展示了 Heggie 定律有时需要通过考虑外部势来进行修正，例如，对于受中心大质量黑洞影响的核恒星盘或活动星系核盘中的双星，或原行星中的双星光盘，受主机明星影响。我们发现，在希尔半径有限的这种环境中，二元单次散射会产生不同的结果。特别是，由于恒星被弹射到希尔半径之外，三体相遇可能会被打断，从而停止参与进一步的密切相互作用。这导致相遇带来的能量变化的系统性差异，特别是减缓了二元硬化，甚至导致一些硬二元平均软化而不是硬化。我们使用我们之前推导出的分析、统计解决方案来解决绑定混沌三体问题，以定量表征二元的硬化-软化相变和演化的修正。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。从而不再参与进一步的密切互动。这导致相遇带来的能量变化的系统性差异，特别是减缓了二元硬化，甚至导致一些硬二元平均软化而不是硬化。我们使用我们之前推导出的分析、统计解决方案来解决绑定混沌三体问题，以定量表征二元的硬化-软化相变和演化的修正。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。从而不再参与进一步的密切互动。这导致相遇带来的能量变化的系统性差异，特别是减缓了二元硬化，甚至导致一些硬二元平均软化而不是硬化。我们使用我们之前推导出的分析、统计解决方案来解决绑定混沌三体问题，以定量表征二元的硬化-软化相变和演化的修正。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。这导致相遇带来的能量变化的系统性差异，特别是减缓了二元硬化，甚至导致一些硬二元平均软化而不是硬化。我们使用我们之前推导出的分析、统计解决方案来解决绑定混沌三体问题，以定量表征二元的硬化-软化相变和演化的修正。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。这导致相遇带来的能量变化的系统性差异，特别是减缓了二元硬化，甚至导致一些硬二元平均软化而不是硬化。我们使用我们之前推导出的分析、统计解决方案来解决绑定混沌三体问题，以定量表征二元的硬化-软化相变和演化的修正。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。而不是变硬。我们使用我们之前推导出的分析、统计解决方案来解决绑定混沌三体问题，以定量表征二元的硬化-软化相变和演化的修正。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。而不是变硬。我们使用我们之前推导出的分析、统计解决方案来解决绑定混沌三体问题，以定量表征二元的硬化-软化相变和演化的修正。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。我们还提供了任何环境中二进制文件平均硬化率的分析计算（也再现了详细的 N 体模拟的结果）。我们表明，后者表现出对环境引起的希尔半径的非平凡依赖性。