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Sublinear Time Eigenvalue Approximation via Random Sampling
arXiv - CS - Data Structures and Algorithms Pub Date : 2021-09-16 , DOI: arxiv-2109.07647 Rajarshi Bhattacharjee, Cameron Musco, Archan Ray
arXiv - CS - Data Structures and Algorithms Pub Date : 2021-09-16 , DOI: arxiv-2109.07647 Rajarshi Bhattacharjee, Cameron Musco, Archan Ray
We study the problem of approximating the eigenspectrum of a symmetric matrix
$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ with bounded entries (i.e., $\|A\|_{\infty}
\leq 1$). We present a simple sublinear time algorithm that approximates all
eigenvalues of $A$ up to additive error $\pm \epsilon n$ using those of a
randomly sampled $\tilde{O}(\frac{1}{\epsilon^4}) \times \tilde
O(\frac{1}{\epsilon^4})$ principal submatrix. Our result can be viewed as a
concentration bound on the full eigenspectrum of a random principal submatrix.
It significantly extends existing work which shows concentration of just the
spectral norm [Tro08]. It also extends work on sublinear time algorithms for
testing the presence of large negative eigenvalues in the spectrum [BCJ20]. To
complement our theoretical results, we provide numerical simulations, which
demonstrate the effectiveness of our algorithm in approximating the eigenvalues
of a wide range of matrices.
中文翻译:
通过随机采样的亚线性时间特征值逼近
我们研究了近似对称矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的特征谱的问题,其中包含有界条目(即 $\|A\|_{\infty} \leq 1$ )。我们提出了一个简单的次线性时间算法,它使用随机采样的 $\tilde{O}(\frac{1}{\epsilon^4} ) \times \tilde O(\frac{1}{\epsilon^4})$ 主子矩阵。我们的结果可以看作是随机主子矩阵的完整特征谱上的集中边界。它显着扩展了现有工作,仅显示频谱范数 [Tro08] 的集中。它还扩展了亚线性时间算法的工作,用于测试频谱中是否存在大的负特征值 [BCJ20]。为了补充我们的理论结果,我们提供了数值模拟,
更新日期:2021-09-17
中文翻译:
通过随机采样的亚线性时间特征值逼近
我们研究了近似对称矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的特征谱的问题,其中包含有界条目(即 $\|A\|_{\infty} \leq 1$ )。我们提出了一个简单的次线性时间算法,它使用随机采样的 $\tilde{O}(\frac{1}{\epsilon^4} ) \times \tilde O(\frac{1}{\epsilon^4})$ 主子矩阵。我们的结果可以看作是随机主子矩阵的完整特征谱上的集中边界。它显着扩展了现有工作,仅显示频谱范数 [Tro08] 的集中。它还扩展了亚线性时间算法的工作,用于测试频谱中是否存在大的负特征值 [BCJ20]。为了补充我们的理论结果,我们提供了数值模拟,