In this work, we study an inverse problem of recovering a space-time dependent diffusion coefficient in the subdiffusion model from the distributed observation, where the mathematical model involves a Djrbashian-Caputo fractional derivative of order $\alpha\in(0,1)$ in time. The main technical challenges of both theoretical and numerical analysis lie in the limited smoothing properties due to the fractional differential operator and the high degree of nonlinearity of the forward map from the unknown diffusion coefficient to the distributed observation. Theoretically, we establish two conditional stability results using a novel test function, which leads to a stability bound in $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ under a suitable positivity condition. The positivity condition is verified for a large class of problem data. Numerically, we develop a rigorous procedure for the recovery of the diffusion coefficient based on a regularized least-squares formulation, which is then discretized by the standard Galerkin method with continuous piecewise linear elements in space and backward Euler convolution quadrature in time. We provide a complete error analysis of the fully discrete formulation, by combining several new error estimates for the direct problem (optimal in terms of data regularity), a discrete version of fractional maximal $L^p$ regularity, and a nonstandard energy argument. Under the positivity condition, we obtain a standard $L^2(0,T; L^2(\Omega))$ error estimate consistent with the conditional stability. Further, we illustrate the analysis with some numerical examples.

中文翻译：

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子扩散中时空相关扩散系数的恢复：稳定性、近似和误差分析

在这项工作中，我们研究了从分布式观察中恢复子扩散模型中时空相关扩散系数的逆问题，其中数学模型涉及阶 $\alpha\in(0,1) 的 Djrbashian-Caputo 分数阶导数$及时。理论和数值分析的主要技术挑战在于由于分数阶微分算子和从未知扩散系数到分布式观察的前向映射的高度非线性而导致的有限平滑特性。理论上，我们使用新的测试函数建立了两个条件稳定性结果，这导致在合适的正条件下 $L^2(0,T;L^2(\Omega))$ 中的稳定性界限。验证了大量问题数据的正性条件。数字上，我们开发了一个严格的基于正则化最小二乘公式的扩散系数恢复程序，然后通过标准 Galerkin 方法使用空间中的连续分段线性元素和时间上的后向欧拉卷积正交将其离散化。我们提供了完全离散公式的完整误差分析，通过结合直接问题的几个新误差估计（在数据正则方面是最佳的）、分数最大 $L^p$ 正则性的离散版本和非标准能量参数。在正性条件下，我们得到一个标准的$L^2(0,T;L^2(Ω))$误差估计，与条件稳定性一致。此外，我们用一些数值例子来说明分析。然后通过标准 Galerkin 方法将其离散化，在空间中使用连续分段线性元素，在时间上使用后向欧拉卷积求积。我们提供了完全离散公式的完整误差分析，通过结合直接问题的几个新误差估计（在数据正则方面是最佳的）、分数最大 $L^p$ 正则性的离散版本和非标准能量参数。在正态条件下，我们得到一个标准的$L^2(0,T;L^2(Ω))$误差估计，与条件稳定性一致。此外，我们用一些数值例子来说明分析。然后通过标准 Galerkin 方法将其离散化，在空间中使用连续分段线性元素，在时间上使用后向欧拉卷积求积。我们提供了完全离散公式的完整误差分析，通过结合直接问题的几个新误差估计（在数据正则方面是最佳的）、分数最大 $L^p$ 正则性的离散版本和非标准能量参数。在正性条件下，我们得到一个标准的$L^2(0,T;L^2(Ω))$误差估计，与条件稳定性一致。此外，我们用一些数值例子来说明分析。通过结合直接问题的几个新误差估计（在数据正则性方面是最佳的）、分数极大值 $L^p$ 正则性的离散版本和非标准能量参数。在正性条件下，我们得到一个标准的$L^2(0,T;L^2(Ω))$误差估计，与条件稳定性一致。此外，我们用一些数值例子来说明分析。通过结合直接问题的几个新误差估计（在数据正则性方面是最佳的）、分数极大值 $L^p$ 正则性的离散版本和非标准能量参数。在正性条件下，我们得到一个标准的$L^2(0,T;L^2(Ω))$误差估计，与条件稳定性一致。此外，我们用一些数值例子来说明分析。