SIAM Journal on Computing, Ahead of Print.
We consider the problem of counting $k$-cliques in $s$-uniform Erdös--Rényi hypergraphs $G(n,c,s)$ with edge density $c$ and show that its fine-grained average-case complexity can be based on its worst-case complexity. We prove the following: (1) Dense Erdös--Rényi graphs and hypergraphs: Counting $k$-cliques on $G(n,c,s)$ with $k$ and $c$ constant matches its worst-case complexity up to a $\polylog(n)$ factor. Assuming randomized ETH, it takes $n^{\Omega(k)}$ time to count $k$-cliques in $G(n,c,s)$ if $k$ and $c$ are constant. (2) Sparse Erdös--Rényi graphs and hypergraphs: When $c = \Theta(n^{-\alpha})$, we give several algorithms exploiting the sparsity of $G(n, c, s)$ that are faster than the best known worst-case algorithms. Complementing this, based on a fine-grained worst-case assumption, our reduction implies a different average-case phase diagram for each fixed $\alpha$ depicting a tradeoff between a runtime lower bound and $k$. Surprisingly, in the hypergraph case ($s \ge 3$), these lower bounds are tight against our algorithms exactly when $c$ is above the Erdös--Rényi $k$-clique percolation threshold. Our reduction yields the first known average-case hardness result on Erdös--Rényi hypergraphs based on worst-case hardness conjectures. We also give a variant of our worst-case to average-case reduction for computing the parity of the $k$-clique count that requires a milder assumption on the error probability of the blackbox solving the problem on $G(n, c, s)$.

中文翻译：

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Erdös 计数派系的平均个案复杂度--Rényi Hypergraphs

SIAM 计算杂志，超前印刷。
我们考虑计算 $s$-uniform Erdös--Rényi hypergraphs $G(n,c,s)$ 中的 $k$-cliques 的问题，边密度为 $c$，并表明其细粒度的平均情况复杂度可以基于其最坏情况的复杂性。我们证明了以下几点： (1) Dense Erdös--Rényi 图和超图：计算 $G(n,c,s)$ 上的 $k$-cliques 与 $k$ 和 $c$ 常数匹配其最坏情况的复杂度到 $\polylog(n)$ 因子。假设随机 ETH，如果 $k$ 和 $c$ 是常数，则需要 $n^{\Omega(k)}$ 时间来计算 $G(n,c,s)$ 中的 $k$-cliques。(2) 稀疏 Erdös--Rényi 图和超图：当 $c = \Theta(n^{-\alpha})$ 时，我们给出了几种利用 $G(n, c, s)$ 稀疏性的更快的算法比最著名的最坏情况算法。作为补充，基于细粒度的最坏情况假设，我们的减少意味着每个固定的 $\alpha$ 都有一个不同的平均情况相图，描述了运行时下限和 $k$ 之间的权衡。令人惊讶的是，在超图的情况下（$s \ge 3$），当 $c$ 高于 Erdös--Rényi $k$-clique 渗透阈值时，这些下限对我们的算法是严格的。我们的还原在 Erdös-Rényi 超图上产生了第一个已知的平均硬度结果，该结果基于最坏情况硬度猜想。我们还给出了最坏情况到平均情况减少的变体，用于计算 $k$-clique 计数的奇偶校验，这需要对解决 $G(n, c, s)$。当 $c$ 高于 Erdös--Rényi $k$-clique 渗透阈值时，这些下限对我们的算法来说是严格的。我们的还原在 Erdös-Rényi 超图上产生了第一个已知的平均硬度结果，该结果基于最坏情况硬度猜想。我们还给出了最坏情况到平均情况减少的变体，用于计算 $k$-clique 计数的奇偶校验，这需要对解决 $G(n, c, s)$。当 $c$ 高于 Erdös--Rényi $k$-clique 渗透阈值时，这些下限对我们的算法来说是严格的。我们的还原在 Erdös-Rényi 超图上产生了第一个已知的平均硬度结果，该结果基于最坏情况硬度猜想。我们还给出了最坏情况到平均情况减少的变体，用于计算 $k$-clique 计数的奇偶校验，这需要对解决 $G(n, c, s)$。