We explain how, starting with a stack of D4-branes ending on an NS5-brane in type IIA string theory, one can, via T-duality and the topological-holomorphic nature of the relevant worldvolume theories, relate (i) the lattice models realized by Costello’s 4d Chern–Simons theory, (ii) links in 3d analytically-continued Chern–Simons theory, (iii) the quantum geometric Langlands correspondence realized by Kapustin–Witten using 4d $\mathcal{N}=4$ gauge theory and its quantum group modification, and (iv) the Gaitsgory–Lurie conjecture relating quantum groups/affine Kac-Moody algebras to Whittaker D‑modules/W‑algebras. This furnishes, purely physically via branes in string theory, a novel bridge between the mathematics of integrable systems, geometric topology, geometric representation theory, and quantum algebras.

中文翻译：

---

通过弦论中的膜统一晶格模型、链接和量子几何朗兰兹

我们解释了如何，从 IIA 型弦理论中以 NS5 膜结尾的一堆 D4 膜开始，人们可以通过 T 对偶性和相关世界体积理论的拓扑全纯性质，将 (i) 晶格模型联系起来由 Costello 的 4d Chern–Simons 理论实现，(ii) 3d 分析延续的 Chern–Simons 理论中的链接，(iii) Kapustin–Witten 使用 4d $\mathcal{N}=4$ 规范理论实现的量子几何朗兰兹对应，以及其量子群修改，以及 (iv) 将量子群/仿射 Kac-Moody 代数与 Whittaker D-模/W-代数相关联的 Gaitsgory-Lurie 猜想。这纯粹是通过弦论中的膜在物理上提供了可积系统数学、几何拓扑、几何表示理论和量子代数之间的新桥梁。