In this paper we study the uniqueness of positive solutions of the nonlinear Kirchhoff type equations in arbitrary dimension $N$: ($P$)$-\left(a+b{\int }_{{\mathbb{R}}^N}{|\nabla u|}^{2}dx\right)\Delta u+u={\left|u\right|}^{p-1}u\text{in}{\mathbb{R}}^N,$where $a\ge 0,b>0$, $1<p<2^{\ast }-1$ and $2^{\ast }=+\infty$ if $N=1,2$, $2^{\ast }=\frac{2N}{N-2}$ if $N\ge 3$. By converting problem $\left(P\right)$ to a system which contains a semi-linear problem, we obtain uniqueness results of positive solutions of $\left(P\right)$. The degenerate case of the Kirchhoff type problem (that is, $a=0$) is also considered. As we shall see, the uniqueness of solutions of $\left(P\right)$ depends on parameters $a$, $b$ and the space dimension $N$.

中文翻译：

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关于基尔霍夫型方程正解唯一性的若干注解

在本文中，我们研究了任意维数非线性 Kirchhoff 型方程正解的唯一性 $N$：（$磷$)$-\left(\mathrm{一种}+乙{\int }_{{\mathbb{电阻}}^N}{|\nabla 你|}^{2}dX\right)\Delta 你+你={\left|你\right|}^{磷-1}你\text{在}{\mathbb{电阻}}^N,$在哪里 $\mathrm{一种}\ge 0,乙>0$, $1<磷<2^{＊}-1$ 和 $2^{＊}=+\infty$ 如果 $N=1,2$, $2^{＊}=\frac{2N}{N-2}$ 如果 $N\ge 3$. 通过转换问题$\left(磷\right)$ 对于包含半线性问题的系统，我们得到正解的唯一性结果 $\left(磷\right)$. Kirchhoff 类型问题的退化情况（即，$\mathrm{一种}=0$) 也考虑。正如我们将看到的，解的唯一性$\left(磷\right)$ 取决于参数 $\mathrm{一种}$, $乙$ 和空间维度 $N$.