Let ${\lambda }_f(n)$ denote the nth normalized Fourier coefficient of the primitive holomorphic cusp forms of even integral weight $k\ge 2$ for the full modular group $SL(2,\mathbb{Z})$. For $x\ge 1$, we are interested in the sums ${\sum }_{n\le x}{\lambda }_f{(n)}^{\ell }$ and ${\sum }_{a^2+b^2\le x}{\lambda }_f{(a^2+b^2)}^{\ell }$. In this paper, we are able to establish the asymptotic formulae for general cases of the power sum for every positive integer $\ell \in \mathbb{N}$. The special cases of our results improve previous results.

中文翻译：

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尖点形式傅里叶系数在两个平方和上的一般渐近公式

让${\lambda }_F(n)$表示偶整数权重的原始全纯尖点形式的第n个归一化傅立叶系数$ķ\ge 2$对于完整的模块化组$\mathrm{小号}\mathrm{大号}(2,\mathbb{Z})$. 为了$X\ge 1$, 我们对总和感兴趣${\sum }_{n\le X}{\lambda }_F{(n)}^{\ell }$其他${\sum }_{{\mathrm{一种}}^2+b^2\le X}{\lambda }_F{({\mathrm{一种}}^2+b^2)}^{\ell }$. 在本文中，我们能够为每个正整数的幂和的一般情况建立渐近公式$\ell \in \mathbb{ñ}$. 我们结果的特殊情况改进了以前的结果。