Let f be an arithmetic function satisfying some simple conditions. The aim of this paper is to establish an asymptotical formula for the quantity$S_f(x):=\sum _{n⩽x}f\left(\right[\frac{x}{n}\left]\right)$ for $x\to \infty$, where $[t]$ is the integral part of the real number t. This generalises some recent results of Bordellès, Dai, Heyman, Pan & Shparlinski and of Zhai ($f=\phi =\text{the Euler function}$), and of Zhao & Wu ($f=\sigma =\text{the sum-of-divisors function}$).

中文翻译：

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关于 Bordellès-Dai-Heyman-Pan-Shparlinski 猜想的推广

令f为满足一些简单条件的算术函数。本文的目的是建立数量的渐近公式${\mathrm{小号}}_F(X)：=\sum _{n⩽X}F\left(\right[\frac{X}{n}\left]\right)$为了$X\to \infty$， 在哪里$[吨]$是实数t的整数部分。这概括了 Bordellès、Dai、Heyman、Pan & Shparlinski 和 Zhai（$F=\phi =\text{欧拉函数}$)，以及赵和吴的 ($F=\sigma =\text{除数和函数}$）。