We investigate the behavior of higher-form symmetries at various quantum phase transitions. We consider discrete 1-form symmetries, which can be either part of the generalized concept ``categorical symmetry" (labelled as $\tilde{Z}_N^{(1)}$) introduced recently, or an explicit $Z_N^{(1)}$ 1-form symmetry. We demonstrate that for many quantum phase transitions involving a $Z_N^{(1)}$ or $\tilde{Z}_N^{(1)}$ symmetry, the following expectation value $ \langle \left( \log O_\mathcal{C} \right)^2 \rangle$ takes the form $\langle \left( \log O_\mathcal{C} \right)^2 \rangle \sim - \frac{A}{\epsilon} P+ b \log P $, where $O_\mathcal{C} $ is an operator defined associated with loop $\mathcal{C} $ (or its interior $\mathcal{A} $), which reduces to the Wilson loop operator for cases with an explicit $Z_N^{(1)}$ 1-form symmetry. $P$ is the perimeter of $\mathcal{C} $, and the $b \log P$ term arises from the sharp corners of the loop $\mathcal{C} $, which is consistent with recent numerics on a particular example. $b$ is a universal microscopic-independent number, which in $(2+1)d$ is related to the universal conductivity at the quantum phase transition. $b$ can be computed exactly for certain transitions using the dualities between $(2+1)d$ conformal field theories developed in recent years. We also compute the ``strange correlator" of $O_\mathcal{C} $: $S_{\mathcal{C} } = \langle 0 | O_\mathcal{C} | 1 \rangle / \langle 0 | 1 \rangle$ where $|0\rangle$ and $|1\rangle$ are many-body states with different topological nature.

中文翻译：

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相变高形式对称性的普遍特征

我们研究了在各种量子相变中更高形式对称性的行为。我们考虑离散的 1 型对称性，它可以是最近引入的广义概念“分类对称性”（标记为 $\tilde{Z}_N^{(1)}$）的一部分，也可以是显式的 $Z_N^{ (1)}$ 1-form symmetry. 我们证明了对于许多涉及 $Z_N^{(1)}$ 或 $\tilde{Z}_N^{(1)}$ 对称性的量子相变，以下期望值$ \langle \left( \log O_\mathcal{C} \right)^2 \rangle$ 的形式为 $\langle \left( \log O_\mathcal{C} \right)^2 \rangle \sim - \ frac{A}{\epsilon} P+ b \log P $，其中 $O_\mathcal{C} $ 是定义与循环 $\mathcal{C} $（或其内部 $\mathcal{A} $）相关联的运算符，对于具有显式 $Z_N^{(1)}$ 1 形式对称性的情况，它简化为 Wilson 循环运算符。$P$ 是 $\mathcal{C} $ 的周长，$b \log P$ 项来自于循环 $\mathcal{C} $ 的尖角，这与特定示例上的最近数字一致. $b$ 是一个与微观无关的通用数，它在 $(2+1)d$ 中与量子相变时的通用电导率有关。使用近年来发展起来的 $(2+1)d$ 共形场理论之间的对偶性，可以准确地计算出某些跃迁的 $b$。我们还计算了 $O_\mathcal{C} $ 的“奇怪的相关器”： $S_{\mathcal{C} } = \langle 0 | O_\mathcal{C} | 1 \rangle / \langle 0 | 1 \ rangle$ 其中 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是具有不同拓扑性质的多体状态。这与特定示例的最新数字一致。$b$ 是一个与微观无关的通用数，它在 $(2+1)d$ 中与量子相变时的通用电导率有关。使用近年来发展起来的 $(2+1)d$ 共形场理论之间的对偶性，可以准确地计算出某些跃迁的 $b$。我们还计算了 $O_\mathcal{C} $ 的“奇怪的相关器”： $S_{\mathcal{C} } = \langle 0 | O_\mathcal{C} | 1 \rangle / \langle 0 | 1 \ rangle$ 其中 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是具有不同拓扑性质的多体状态。这与特定示例的最新数字一致。$b$ 是一个与微观无关的通用数，它在 $(2+1)d$ 中与量子相变时的通用电导率有关。使用近年来发展起来的 $(2+1)d$ 共形场理论之间的对偶性，可以准确地计算出某些跃迁的 $b$。我们还计算了 $O_\mathcal{C} $ 的“奇怪的相关器”： $S_{\mathcal{C} } = \langle 0 | O_\mathcal{C} | 1 \rangle / \langle 0 | 1 \ rangle$ 其中 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是具有不同拓扑性质的多体状态。使用近年来发展起来的 $(2+1)d$ 共形场理论之间的对偶性，可以准确地计算出某些跃迁的 $b$。我们还计算了 $O_\mathcal{C} $ 的“奇怪的相关器”： $S_{\mathcal{C} } = \langle 0 | O_\mathcal{C} | 1 \rangle / \langle 0 | 1 \ rangle$ 其中 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是具有不同拓扑性质的多体状态。使用近年来发展起来的 $(2+1)d$ 共形场理论之间的对偶性，可以准确地计算出某些跃迁的 $b$。我们还计算了 $O_\mathcal{C} $ 的“奇怪的相关器”： $S_{\mathcal{C} } = \langle 0 | O_\mathcal{C} | 1 \rangle / \langle 0 | 1 \ rangle$ 其中 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 是具有不同拓扑性质的多体状态。