We study global existence and asymptotic behavior of the solutions for a chemotaxis system with chemoattractant and repellent in three dimensions. To accomplish this, we use the Fourier transform and energy method. We consider the case when the mass is conserved and we use the Lotka-Volterra type model for chemoattractant and repellent. Also, we establish $ L^q $ time-decay for the linear homogeneous system by using a Fourier transform and finding Green's matrix. Then, we find $ L^q $ time-decay for the nonlinear system using solution representation by Duhamel's principle and time-weighted estimates.

中文翻译：

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具有 Lotka-Volterra 型趋化剂和驱避剂模型的趋化系统解的全局存在和衰减率

我们在三个维度上研究具有趋化剂和驱避剂的趋化系统解的全局存在性和渐近行为。为此，我们使用傅立叶变换和能量方法。我们考虑质量守恒的情况，我们使用 Lotka-Volterra 型模型来计算化学引诱剂和驱避剂。此外，我们通过使用傅立叶变换并找到格林矩阵来为线性齐次系统建立 $L^q $time-decay。然后，我们使用 Duhamel 原理和时间加权估计的解表示法找到非线性系统的 $ L^q $ time-decay。