Spheres at medium interfaces are encountered in many applications, including in atomic force microscopy or indentation tests. Although the Hertz theory describes the contact mechanics between an elastic sphere and an elastic half-space for static loading and small deformations very well, there is a need to consider the density of the medium, the mass of the sphere and the radiation damping for dynamic loading to obtain reliable results. In this study, an analytical model for predicting the small and large displacements of a sphere on an elastic half-space exposed to a dynamic force is developed. For this purpose, after summarizing a mathematical model that has recently been proposed for the sphere at a medium interface, a finite element model for the sphere at an elastic interface is developed. Based on the comparison of the mathematical and finite element models, an improved analytical model for the sphere at an elastic interface is developed. In addition to considering the elastic properties of the medium and the size of the sphere, the model developed here takes into account the density of the medium, the mass of the sphere, and the radiation damping, and the model is valid for small and large sphere displacements. The developed model can be used to understand the dynamic responses of spherical objects at medium interfaces in practical applications. Furthermore, the proposed model is a remarkable tool for undergraduate and graduate students and researchers in the fields of engineering, materials science and physics to gain insight into the dynamic responses of spheres at medium interfaces.

在许多应用中都会遇到介质界面处的球体，包括在原子力显微镜或压痕测试中。虽然赫兹理论很好地描述了静载荷和小变形时弹性球体和弹性半空间之间的接触力学，但需要考虑介质的密度、球体的质量和动态的辐射阻尼。加载以获得可靠的结果。在这项研究中，开发了一种分析模型，用于预测受到动态力的弹性半空间上球体的大小位移。为此，在总结了最近为介质界面处的球体提出的数学模型之后，开发了弹性界面处的球体的有限元模型。在比较数学模型和有限元模型的基础上，建立了弹性界面球体的改进解析模型。这里建立的模型除了考虑介质的弹性特性和球体的尺寸外，还考虑了介质的密度、球体的质量和辐射阻尼，该模型对小和大都有效球体位移。所开发的模型可用于了解实际应用中球体在介质界面处的动态响应。此外，所提出的模型是工程、材料科学和物理学领域的本科生和研究生以及研究人员深入了解介质界面处球体动态响应的重要工具。开发了弹性界面处球体的改进分析模型。这里建立的模型除了考虑介质的弹性特性和球体的尺寸外，还考虑了介质的密度、球体的质量和辐射阻尼，该模型对小和大都有效球体位移。所开发的模型可用于了解实际应用中球体在介质界面处的动态响应。此外，所提出的模型是工程、材料科学和物理学领域的本科生和研究生以及研究人员深入了解介质界面处球体动态响应的重要工具。开发了弹性界面处球体的改进分析模型。这里建立的模型除了考虑介质的弹性特性和球体的尺寸外，还考虑了介质的密度、球体的质量和辐射阻尼，该模型对小和大都有效球体位移。所开发的模型可用于了解实际应用中球体在介质界面处的动态响应。此外，所提出的模型是工程、材料科学和物理学领域的本科生和研究生以及研究人员深入了解介质界面处球体动态响应的重要工具。这里建立的模型除了考虑介质的弹性特性和球体的尺寸外，还考虑了介质的密度、球体的质量和辐射阻尼，该模型对小和大都有效球体位移。所开发的模型可用于了解实际应用中球体在介质界面处的动态响应。此外，所提出的模型是工程、材料科学和物理学领域的本科生和研究生以及研究人员深入了解介质界面处球体动态响应的重要工具。这里建立的模型除了考虑介质的弹性特性和球体的尺寸外，还考虑了介质的密度、球体的质量和辐射阻尼，该模型对小和大都有效球体位移。所开发的模型可用于了解实际应用中球体在介质界面处的动态响应。此外，所提出的模型是工程、材料科学和物理学领域的本科生和研究生以及研究人员深入了解介质界面处球体动态响应的重要工具。该模型适用于小球和大球位移。所开发的模型可用于了解实际应用中球体在介质界面处的动态响应。此外，所提出的模型是工程、材料科学和物理学领域的本科生和研究生以及研究人员深入了解介质界面处球体动态响应的重要工具。该模型适用于小球和大球位移。所开发的模型可用于了解实际应用中球体在介质界面处的动态响应。此外，所提出的模型是工程、材料科学和物理学领域的本科生和研究生以及研究人员深入了解介质界面处球体动态响应的重要工具。